Question

Determine o número z em cada caso:
a) 3z+4i=6i (elevado na 20)
b) 3zi=z+i

Resolva o sistema de incógnitas z1 e z2:
3z1-z2=1-i 
5z1-2z2=1+3i

Answer 1

Quando i tem um expoente alto, basta dividir esse por 4, tomando o resto da divisão como o novo expoente de i

Ex: i¹º

10 / 4 = 2 + 2 de resto

i¹º = i² = - 1

a)

$3z + 4i = 6i^{20}$

20 / 4 = 5 + 0 de resto

$3z + 4i = 6i^{0}$
$3z + 4i = 6*1$
$3z=6 - 4i$
$z = (6 - 4i)/3$
$z = (6 / 3) - (4i / 3)$
$z= 2 - (4 / 3)i$

b)

$3zi = z + i$
$3zi - z = i$
$z(3i - 1) = i$
$z = i / (3i - 1)$
$z = i(3i + 1) / [(3i - 1)(3i + 1)]$
$z = (3i^{2} + i) / ([3i]^{2} - 1^{2})$
$z = (3[-1] + i) / (9i^{2} - 1)$
$z = (- 3 + i) / (9[-1] - 1)$
$z = (- 3 + i) / (- 9 - 1)$
$z = (- 3 + i) / (- 10)$
$z = -(- 3 + i)/10$
$z = (3 - i)/10$
$z = (3/10) - (i/10)$
$z = (3/10) - (1/10)i$
_________________________

$\left \{ {{3z_{1} - z_{2}=1 - i} \atop {5z_{1} - 2z{2} = 1 + 3i}} \right.$

Multiplicando a primeira equação por - 2:

$\left \{{{-6z_{1}+2z_{2}=-2+2i} \atop {5z_{1}-2z{2}=1+3i}} \right.$

Somando as equações:

$-6z_{1}+5z_{1}+2z_{2}-2z_{2}=-2+2i+1+3i$
$-z_{1}=-1+5i$
$z_{1}=-(-1+5i)$
$z_{1}=1-5i$

$3z_{1}-z_{2}=1-i$
$3(1-5i)-z_{2}=1-i$
$3-15i-z_{2}=1-i$
$3-15i-1+i=z_{2}$
$2-14i=z_{2}$