Question

Determine o número de pares (x,y) de inteiros positivos tais que x²-y²=2¹⁴.

Answer 1

Observe que podemos escrever a equação x² - y² = 2¹⁴ da seguinte maneira: (x + y)(x - y) = 2¹⁴.

Temos então uma multiplicação de dois números cujo resultado é 2¹⁴.

O número 2¹⁴ possui 15 divisores positivos. São eles:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 4096, 8192 e 16384.

Então, temos as seguintes possibilidades de multiplicação que resulta em 2¹⁴:

1.16384

2.8192

4.4096

8.2048

16.1024

32.512

64.256

128.128

Perceba que a primeira multiplicação não será satisfeita, pois:

x + y = 1

x - y = 16384

Somando as duas equações:

2x = 16385

x = 8192,5

ou seja, x não é um número inteiro.

Portanto, existem 7 pares de inteiros positivos, tais que x² - y² = 2¹⁴.