Question

Determine o número de pares de (x,y) de inteiros positivos tais que x²-y²= 2^14

Answer 1

Perceba que x² - y² é uma diferença de quadrados.

Sendo assim, temos que (x - y)(x + y) = 2¹⁴.

O número 2¹⁴ possui 15 divisores positivos. São eles:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384.

Como queremos dois números cuja multiplicação resulta em 2¹⁴, então temos as seguintes possibilidades:

1.16384

2.8192

4.4096

8.2048

16.1024

32.512

64.256

128.128

Observe que a única multiplicação que não satisfaz x² - y² = 2¹⁴ é a primeira, pois:

x + y = 1

x - y = 16384

Somando as duas equações:

2x = 16385

x = 8192,5

ou seja, x não é um valor inteiro.

Portanto, existem 7 pares de inteiros positivos tais que x² - y² = 2¹⁴.