Question

Determine o número de faces de cada tipo que tem um poliedro convexo com 20 arestas e 10 vértices, sabendo que elas são somente triangulares e quadrangulares.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

    Fórmula de Euler:

    V + F = A + 2

   10+ F = 20 + 2

    10 + F = 22

            F = 22-10

            F = 12 faces  

t ---> faces triangulares

q---> faces quadradas

 

 Armamos um Sistema:

 { t + q = 12 ---> t = 12 - q  (substitui na outra equação

 {3t + 4q = 40 ( as arestas são contadas de 2 em 2 --> 20.2=40) 

 

 3(12 - q) + 4q = 40

 36 - 3q + 4q = 40

                     q  = 40 - 36 --->   q  =  4  faces quadradas  <<<<<<<

t = 12 - q --> t = 12 - 4 -->    t =  8 faces triangulares <<<<<<  

Verificando na Fórmula de Euler:

     V + F = A + 2

    10 + 12 = 20 + 2

         22   =    22     

Answer 2

Resposta:

8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares.

Explicação passo-a-passo:

usa-se primeiros a relação de euler:

F+V-A=2

F=22-10 = 12 FACES

Agora, montamos um sistema de equações

obs.: lembrar da fórmula que relaciona o dobro das arestas igual o número de faces:

2A = 4F4 + 3F3

2. 20 = 4F4+3F3

40 = 4F4 +3F3

AGORA USA O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:

40 = 4F4 +3F4 ¹

12 = F4 + F3 ²

MULTIPLICA A PRIMEIRA POR -3 E DEPOIS SOMA COM A SEGUNDA

RESULTADO: F4= 4 E F3= 8