Question

Determine o modulo dos seguintes complexos

$\frac{i-4}{2+i}$

Answer 1

Número complexo: $z= \frac{i-4}{2+i}$

Para eliminar o denominador com a parte imaginária, vamos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do denominador. Observe:
$z= \frac{i-4}{2+i} \cdot \frac{2-i}{2-i} \\ \\ z= \frac{2i-i^2-8+4i}{4-2i+2i-i^2}, ~mas ~ i^2= -1 \\ \\ z= \frac{2i-(-1)-8+4i}{4-2i+2i-(-1)} \\ \\ \boxed{z= \frac{6i}{5} - \frac{7}{5}}$

Por fim, o módulo do número complexo z:
$|z| = \sqrt[]{a^2+b^2} \\ \\ |z| = \sqrt[]{( \frac{6}{5})^2+(- \frac{7}{5} )^2 } \\ \\ |z| = \sqrt[]{ \frac{36}{25} + \frac{49}{25} } \\ \\ |z| = \sqrt[]{ \frac{36+49}{25} } \\ \\ |z| = \sqrt[]{ \frac{85}{25} } \\ \\ \boxed{ \boxed{|z| = \frac{\sqrt{85}}{5}}}$