Question

Determine o estudo do sinal da funcao

f(x) = x²- 7x + 12

Answer 1

Por ser uma função do 2º grau, trata-se de uma parábola.
A primeira coisa a se fazer é analisar a função.

f(x) = ax² + bx + c
Se a > 0, a concavidade da parábola estará voltada para cima.
Se a < 0, a concavidade da parábola estará voltada para baixo. 

Para Δ > 0 você terá duas raízes reais e diferentes para a função, ou seja, dois valores diferentes que irão tocar no eixo x (das abscissas).
Para Δ = 0 você terá duas raízes reais e iguais para a função.
Para Δ < 0 você terá duas raízes não-reais para a função

Para estudar o sinal da função você deve primeiramente encontrar as suas raízes. Para encontrar as raízes você precisa igualar a função a 0 e assim usar Bhaskara ou soma e produto.

Com Bhaskara:
x = (-b + ou - √Δ)/2a

Com soma e produto:
Sendo x1 uma das raízes e x2 a outra:
x1 + x2 = -b/a
x1 . x2 = c/a

Agora, vamos ao exercício.

a = 1 ∴ a > 0
Sendo assim, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 49 - 4.1.12
Δ = 1 ∴ Δ > 0
Sendo assim, a função possui duas raízes reais e distintas.

Por soma e produto:
x1 + x2 = -(-7)/1 = 7
x1 . x2 = 12
Sendo assim, subentende-se que x1 = 4 e x2 = 3

O gráfico será assim:
http://www.mathe-fa.de/pt.plot.png?uid=588bbd744167d2.76059173.

Perceba que quando x ≤ 3, o sinal do gráfico será positivo (+)
Perceba que quando x ≥ 4, o sinal do gráfico será positivo (+)
Perceba que quando 3 < x < 4 , o sinal do gráfico será negativo (-)

Sendo assim, a função será positiva quando x ≤ 3 OU quando x ≥4
e será negativa quando 3 < x < 4 .

Answer 2

Caso tenha problemas para visualizar pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador:   https://brainly.com.br/tarefa/8131454

_______________


Fazer o estudo do sinal da função quadrática, cuja lei é

$\mathsf{f(x)=x^2-7x+12}$


Encontrar as raízes, caso existam:

$\mathsf{f(x)=0}\\\\ \mathsf{x^2-7x+12=0}\quad\longrightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-7}\\\mathsf{c=12} \end{array} \right.}$


$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12}\\\\ \mathsf{\Delta=49-48}\\\\ \mathsf{\Delta=1}$


$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-(-7)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-(-7)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{7-1}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{7+1}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{6}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{8}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=3}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=4}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes)} \end{array}$


Fatorando a expressão quadrática que define a lei da função:

$\mathsf{f(x)=a\cdot (x-r_1)\cdot (x-r_2)}\\\\ \mathsf{f(x)=1\cdot (x-3)\cdot (x-4)}\\\\ \mathsf{f(x)=(x-3)\cdot (x-4)\qquad\quad(i)}$


Fazendo o quadro de sinais para os fatores:

$\large\begin{array}{cc} \mathsf{x-3}&\qquad\mathsf{\overset{~~~---}{\textsf{|||}}\hspace{-3}\underset{3}{\overset{0}{\bullet}}\hspace{-3}\overset{++++++}{\textsf{||||}}\hspace{-3}\underset{4}{\bullet}\hspace{-3}\overset{+++~~~}{\textsf{|||}}\hspace{-6}\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\ \mathsf{x-4}&\qquad\mathsf{\overset{~~~---}{\textsf{|||}}\hspace{-3}\underset{3}{\bullet}\hspace{-3}\overset{------}{\textsf{||||}}\hspace{-3}\underset{4}{\overset{0}{\bullet}}\hspace{-3}\overset{+++~~~}{\textsf{|||}}\hspace{-6}\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\\\ \mathsf{(x-3)(x-4)}&\qquad\mathsf{\overset{~~~+++}{\textsf{|||}}\hspace{-3}\underset{3}{\overset{0}{\bullet}}\hspace{-3}\overset{------}{\textsf{||||}}\hspace{-3}\underset{4}{\overset{0}{\bullet}}\hspace{-3}\overset{+++~~~}{\textsf{|||}}\hspace{-6}\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}} \end{array}$


Enfim, temos que

•   A função é negativa para  $\mathsf{3<x<4.}$

•   A função é nula para  $\mathsf{x=3~~ou~~x=4;}$

•   A função é positiva para  $\mathsf{x\ \textless \ 3~~ou~~x\ \textgreater \ 4.}$


Bons estudos! :-)


Tags:   estudo sinal função quadrática segundo grau báscara parábola álgebra