Question

Determine o domínio, faça um esboço do gráfico e encontre as assíntotas das seguintes funções:
a) f(x) = log 1/2 (x - 1)
b) g(x) = (1/3)^-x + 2

Answer 1

• Temos a seguinte função:

$(a) f(x) = \log_{ \frac{1}{2} }(x - 1)$

Para encontrar o domínio dessa função logarítmica, basta analisar o seu logaritmando, pois como sabemos, uma função logarítmica carrega com si as seguintes restrições:

$\log_{a}(b) \: \to \: b > 0 , \: a > 0 \: e \: a \neq \: 1$

Como podemos ver, a base é maior que 0 e diferente de 1, portanto vamos fazer apenas a análise do logaritmando:

$(x - 1) > 0 \: \to \: x > 1$

Portanto o domínio é:

$D = \{x\in \mathbb{R} \: | \: x > 1 \}$

Agora vamos achar as assíntotas. Iniciando pela assíntota horizontal. Como sabemos, para que uma função tenha assíntota Horizontal, ela deve cumprir uma dessas duas condições:

$\lim_{x \to \: + \infty }f(x) = b , \: b \in \mathbb{R} \\ \text{ou} \\ \lim_{x \to \: - \infty }f(x) = b , \: b \in \mathbb{R} \\ \sf Caso \: exista , \: ent\tilde{a}o \: a \: ass\acute{i}ntota \: é \: y = b$

Vamos analisar a função quando x tende a ±∞:

$\lim_{x \to \: + \infty } \log_{ \frac{1}{2} }(x - 1) \: \to \: \lim_{x \to \: + \infty } \log_{ \frac{1}{2} }( \infty - 1) \: \to \:\lim_{x \to \: + \infty } \infty \: \to \: \infty \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \text{ou} \\ \lim_{x \to \: - \infty } \log_{ \frac{1}{2} }(x - 1) \: \to \: \lim_{x \to \: - \infty } \log_{ \frac{1}{2} }( - \infty - 1) \: \to \:\lim_{x \to \: - \infty } - \infty \: \to \: - \infty$

Logo, podemos concluir que não existe assíntota Horizontal para essa função. Para finalizar a analise da função, vamos agora ver a assíntota vertical, para isso temos que analisar qual o valor que torna essa função Indeterminada, ou seja, vamos ver qual valor afeta o seu domínio:

$\log_{ \frac{1}{2} }(x - 1) \: \to \: x - 1 = 0 \: \to \: x = 1$

Portanto a assíntota vertical dessa função é x = 1, pois como vimos, o logaritmando deve ser maior que 0, já que 0 torna a função Indeterminada.

• Temos a seguinte função:

$g(x) = \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ - x} + 2$

O domínio dessa função são todos os números reais, pois as restrições para o domínio de uma função exponencial é dada por:

$g(x) = a {}^{x} \: \to \: a> 0 \: \ e \: a\neq1$

Como podemos ver, a base é > 0 e ≠ 1. Portanto o domínio é:

$D = \mathbb{R}$

• Assíntota Horizontal:

$\lim_{x \to \: - \infty } \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ - x} + 2 \: \to \: \lim_{x \to \: - \infty } \cancel{\frac{1}{ \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ \infty } } } {}^{0} + 2 \: \to \: + 2 \: \: \: \: \\ \text{ou} \\ \lim_{x \to \: + \infty } \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ - x} + 2 \: \to \: \lim_{x \to \: + \infty } {\frac{1}{ \left( \frac{1}{3} \right) {}^{ \infty} }} + 2 \: \to \: + \infty \: \: \: \:$

Portanto podemos dizer que a assíntota horizontal dessa função é y = 2.

• Assíntota Vertical:

Essa função não possui assíntota Vertical, já que não há nenhuma valor de x que torne essa função Indeterminada.

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

i essa e dificil

Explicação passo-a-passo: