Question

determine o domínio das seguintes funções que melhor se enquadra nas opções abaixo

Answer 1

Vamos analisar o domínio de cada uma e ver o que achamos. As funções são todas pertencentes ao conjunto dos números Reais, então o domínio delas não pode assumir um valor de X que resulte em um número não-real. Isso vai ficar mais claro abaixo.

I) $f(x) = \frac{5x}{2x - 1}$

Temos uma função expressa por uma fração. Para que a função seja Real, a fração não pode ter denominador 0 de forma alguma. Se o denominador for zero, teremos uma divisão por 0 e a função não assumirá valor real. Então

Denominador ≠ 0

2x - 1 ≠0

x ≠ 1/2

Domínio = {x ∈ R / x ≠ 1/2}

II) $f(x) = \sqrt{3x - 12}$

Agora temos uma função expressa por uma raiz quadrada. Raiz quadrada de número negativo não é um número real, então dentro da raiz (o radicando) não pode ser negativo de jeito nenhum. Note que ele pode valer 0 sem problema, já que raiz de 0 é 0 (continua sendo real).

Radicando ≥ 0 (dessa forma ele é sempre positivo ou igual a 0)

3x - 12 ≥ 0

x ≥ 4

Domínio = {x ∈ R / x ≥ 4}

III) $f(x) = x^{2} + 3x - 1$

Agora é uma função quadrática. Veja que ela não possui nenhuma restrição. É impossível obter um valor não-real com X assumindo apenas valores reais. Tente jogar números negativos, positivos ou nulos no lugar de X e veja que a resposta é sempre real.

Domínio = {x ∈ R}

IV) $f(x) = \frac{\sqrt[3]{x + 2} }{\sqrt{4x - 8}}$

Agora temos as duas coisas. A fração não pode ter denominador igual a zero e esse mesmo denominador também não pode assumir valor negativo, pois está numa raiz quadrada. O numerador não tem restrição nenhuma pois a raiz é cúbica (quando o índice é ímpar não tem restrição, só quando é par). Então

Denominador > 0 (agora ele é sempre positivo e diferente de 0)

√(4x - 8) > 0

x > 2

Domínio = {x ∈ R / x > 2}

I  (≠)

II (≥)

III (R)

IV (>)

Alternativa D

Espero ter ajudado!