Question

Determine o domínio da função:

$f(x) = \frac{ \sqrt{ {3}^{x} - 1} }{ {x}^{2} - 1}$

obs: se não for incomodo gostaria de uma explicação passo a passo com texto também e não apenas Cálculos.​

Answer 1

A expressão da função possui duas características que influenciam o seu domínio:

 1. Denominador: os valores de $x$ para os quais o denominador se anula não podem fazer parte do domínio da função. Neste caso, tem-se:

$x^2-1 = 0 \iff (x+1)(x-1) = 0 \iff x = \pm 1.$

Deste modo, obtém-se:

$x^2-1 \neq 0 \iff x \in \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.$

 2. Raiz quadrada: o radicando de uma raiz quadrada deve ser não-negativo. Neste caso, tem-se:

$3^x-1\geq 0 \iff 3^x \geq 1 \iff 3^x \geq 3^0 \iff x \geq 0.$

Deste modo, obtém-se:

$3^x-1\geq 0\iff x \in [0, \infty[.$

O domínio da função corresponde, assim, à interseção dos intervalos acima:

$D_f = \left(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\right) \cap [0, \infty[ = [0, \infty[\setminus\{1\}.$