Question

Determine o domínio da função f(x) √(x-2)/(x-2).

Answer 1

D = { x ∈ ℝ | x > 2}

O domínio é qualquer valor para X, contanto que X seja maior que 2.

Explicação passo-a-passo:

João Responda nos comentários e eu edito a questão. Como é que tá a função?

I -

$f(x) = \sqrt{ \frac{x - 2}{x - 2} }$

II -

$f(x) = \frac{ \sqrt{x - 2} }{x - 2}$

Qual dos dois ? Tipo I ou Tipo II?

Se for do tipo I. Observe que uma raíz quadrada não pode ser negativa.

Portanto, o que devemos fazer é igualar a equação do numerador e denominador sem a raíz a zero.

Começando com o numerador.

x - 2 ≥ 0 (maior ou igual porque se for menor que zero, a equação vai dar negativa, e na raíz quadrada isso não lógico.

x ≥ 2 → numerador

No denominador temos uma observação. Não podemos fazer uma inequação igualando a zero, porque matematicamente um denominador jamais pode ser 0. Portanto para o denominador:

x - 2 > 0 (Não pode ser zero porque é denominador, e nem negativa porque está dentro da raíz) Portanto:

x > 2

Como temos o mesmo x para o denominador e numerador, é notório que não podemos ter x = 2 (no numerador pode, mas não pode no denominador, senão resulta em zero)

Portanto o domínio é a intersecção das raízes (do denominador e numerador)

A intersecção entre x ≥ 2 e x >2 é x > 2

O domínio da função no tipo I é x > 2.

D = { x ∈ ℝ | x > 2}

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No tipo II

O resultado do numerador ainda continua o mesmo que no tipo I

X ≥ 2 → numerador

Mas no denominador, não temos mais uma raíz quadrada, e portanto, o (x - 2) pode assumir valores negativos, mas a equação do denominador não pode resultar em zero, porque como disse, é ilógico um denominador ser 0.

Portanto para o denominador:

x - 2 ≠ 0

x ≠ 2

Logo, x no denominador por assumir qualquer valor, exceto o 2.

O domínio da função será a interseccão do x do numerador com o do denominador.

Numerador → x ≥ 2

Denominador → x ≠ 2

A intersecção de ambos resultou igual que a do tipo I haha

x > 2

D = {x ∈ ℝ | x > 2}

Dica: Para entender melhor a intersecção, você pode traçar 3 retas reais. Uma para o numerador com o valor que x pode assumir. Outra abaixo com o valor que x pode assumir no denominador e a terceira abaixo de todas, com a intersecção das duas. É a forma mais fácil de fazer.

Espero que tenha ajudado.

Bons estudos!