Question

determine o dominio da funçao f(x)=log₁÷₂(x+2)+ log₁÷₂(3+x)

Answer 1

$f(x)=log_{(\frac{1}{2})}(x+2)+log_{(\frac{1}{2})}(x+3)\\\\f(x)=log_{(\frac{1}{2})}[(x+2)\cdot(x+3)]$

Um logaritmo só é definido quando
- Sua base é maior que zero e diferente de 1;
- Seu logaritmando é maior que zero

A base é maior que zero e diferente de 1, logo, temos que encontrar os valores de x que façam que (x + 2)(x + 3), que é o logaritmando, seja maior que zero

$y=(x + 2)(x + 3)=x^{2}+3x+2x+6=x^{2}+5x+6$

Sabemos, de (x + 2)(x + 3), que as raízes de y são - 2 e - 3. Também sabemos que o gráfico de (x + 2)(x + 3) é uma parábola com concavidade voltada para cima, pois o coeficiente de x² é maior que zero. Então, podemos dizer que a função y = (x + 2)(x + 3) retorna valores negativos para x entre as raízes, e não-negativos para os valores de x restantes

$(x+2)(x+3)~\textless~0~~se~x\in(-3,-2)\\(x+2)(x+3)~\textgreater~0~~se~x\in(-\infty,-3)\cup(-2,\infty)$
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Como o domínio de uma função é o conjunto de valores que x pode assumir de modo que a função esteja definida, então sabemos que o domínio de f é o conjunto dos valores de x que fazem com que o logaritmando (x + 2)(x + 3) seja maior que zero:

$\boxed{\boxed{D\{f\}=(-\infty,-3)~\cup~(-2,\infty)}}$