Question

Determine o domínio, as raízes e o estudo de sinal das funções a seguir:
(a) f(x) = (x²-3x-4)/(x-2)
b)f(x)=$\sqrt{\frac{x+3}{x-5} }$
c)f(x)= $\sqrt{\frac{x^{2} +x-6}{x^{2} -x-6} }$

Answer 1

Domínio, basicamente, são as restrições de x.

$a) \ \displaystyle f(x) = \frac{x^2-3x-4}{x-2}$

O denominador não pode ser 0, então :

$x - 2 \neq 0 \to x \neq 2$

1º Domínio :

$\{x \in \mathbb{R} \ | \ x \neq 2 \}$

ou representando o intervalo :

$(-\infty, 2 ) \ U \ (2,+\infty)$  

2º Raízes : Se o numerador for 0 a expressão zera, ou seja :

$\displaystyle x^2-3x-4 = 0$

$\displaystyle x = \frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4.1.(-4)}}{2.1} \to x = \frac{3\pm\sqrt{25}}{2}$

$\displaystyle x = \frac{3+5}{2} \to x = 4$

$\displaystyle x = \frac{3-5}{2} \to x = -1$

3º raízes : $\fbox{x\ =\ 4} \ e \ \fbox{x\ =\ -1}$

4º Estudo de sinais :

Positiva: $\fbox{\displaystyle x \leq -1 }$ e em $\fbox{\displaystyle 2</p><p><strong>Negativa</strong> : [tex]\fbox{\displaystyle -14 }$  

$b) \ \displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{x+3}{x-5}}$

Uma raiz quadrada sempre é maior ou igual a zero.

Denominador tem que ser maior ou igual a zero

$x+3 \geq 0 \to x \geq -3$

$x - 5 > 0 \to x > 5$  

Domínio :

$\fbox{\displaystyle 5</p><p>ou </p><p>[tex]\fbox{\displaystyle (-\infty, -3] \ U \ (5,+\infty) }$  

No quadro de sinais ( está na imagem )

Raízes :

$\fbox{\displaystyle x=3 }$

$c) \ \displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{x^2+x-6}{x^2-x-6 }}$

raiz quadrado é sempre maior ou igual a zero, e o denominador tem que ser maior que zero :

numerador :

$x^2+x-6 \geq 0$

$2\leq x\leq -3$

denominador :

$x^2-x-6 > 0$

$3<x<-2$

Domínio ( faz a interseção dos intervalos ) :

$3 <x \leq -3$

ou

$(-\infty, -3] \ U \ (3,+\infty)$  

Estudo de sinais na imagem

( Se eu não errei nada, é isso aí mesmo. Qualquer dúvida é só falar )