Question

determine o decimo termo da sequencia (11,19,29,41,...)

Answer 1

Temos a seguinte sequência:aₙ

(11, 19, 29, 41, ...)


Vamos obter uma sequência bₙ a partir desta primeira, cujos termos são dados pelas diferenças entre dois termos consecutivos da 1ª sequência aₙ:

•  b₁ = a₂ – a₁

b₁ = 19 – 11

b₁ = 8        ✔


•  b₂ = a₃ – a₂

b₂ = 29 – 19

b₂ = 10        ✔


•  b₃ = a₄ – a₃

b₃ = 41 – 29

b₃ = 12        ✔


$\vdots$


•  bₙ = aₙ₊₁ – aₙ            para n = 1, 2, 3, ...         (i)


Temos então a sequência bₙ:

(8, 10, 12, ...)


e esta é uma progressão aritmética,

cujo primeiro termo é b₁ = 8

e a razão é r = 2.


Fórmula do termo geral para bₙ:

bₙ = b₁ + (n – 1) · r

bₙ = 8 + (n – 1) · 2

bₙ = 8 + 2n – 2

bₙ = 2n + 6                        para n = 1, 2, 3, ...         (ii)


Mas por (i), devemos ter então que

aₙ₊₁ – aₙ = 2n + 6                        para n = 1, 2, 3, ...


o que significa que

aₙ – aₙ₋₁ = 2(n – 1) + 6

aₙ – aₙ₋₁ = 2n – 2 + 6

aₙ – aₙ₋₁ = 2n + 4            para n = 2, 3, 4...         (iii)


isto é,

•  a₂ – a₁ = 8        ✔

•  a₃ – a₂ = 10        ✔

•  a₄ – a₃ = 12        ✔

$\vdots$

•  aₙ – aₙ₋₁ = 2n + 4        ✔


Se somarmos todas as igualdades acima membro a membro, haverá vários cancelamentos no lado esquerdo, restando apenas

– a₁ + aₙ


e a soma dos termos do lado direito é a soma de uma P.A. com (n – 1) termos, cujo primeiro termo é 8, e último termo é 2n + 4.


Então, ficamos com

– a₁ + aₙ = 8 + 10 + 12 + ... + (2n + 4)

                   [ 8 + (2n + 4) ] · (n – 1)
– a₁ + aₙ = ————————————
                                    2

                    (2n + 12) · (n – 1)
– a₁ + aₙ = ——————————
                                  2

                   2 · (n + 6) · (n – 1)
– a₁ + aₙ = ——————————
                                  2
                     
– a₁ + aₙ = (n + 6) · (n – 1)

aₙ = (n + 6) · (n – 1) + a₁             (mas a₁ = 11)

aₙ = (n + 6) · (n – 1) + 11            para n = 1, 2, 3...


A equação acima é a lei de formação da sequência dada inicialmente nesta tarefa.


Como queremos obter o décimo termo dessa sequência, para n = 10, temos

a₁₀ = (10 + 6) · (10 – 1) + 11

a₁₀ = 16 · 9 + 11

a₁₀ = 144 + 11

a₁₀ = 155    <———    esta é a resposta.


O 10º termo da sequência é 155. 


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Tags:  sequência numérica progressão aritmética pa de segunda ordem soma telescópica

Answer 2

Resposta:

155

Explicação passo-a-passo