Matemática, perguntado por Lya83, 1 ano atrás

Determine o conjunto verdade de equaçao exponencial de 2° grau :
3 elevado a 2x = 12.3elevado a x - 27
Essa equaçao de 2 grau me mata :/


radias: Oi Lya. No final da equação, o (x-27) todo é expoente do 3 ou só o x?
Lya83: O x e elevado do 3 , o -27 ja e separado rs

Soluções para a tarefa

Respondido por radias
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Oi Lya,

As equações exponenciais podem ser divididas em três tipos. A do tipo 2, como essa que você postou, é reconhecida pelo fato de recaírem em equações do segundo grau através da troca de variáveis.

De acordo com as propriedades da potenciação, temos:
a^{m*n}=(a^{m})^n

Então, essa equação pode ser reescrita da seguinte forma:
3^{2x}=12*3^x-27 \\ (3^x)^2=12*3^x-27

Nesse momento, podemos fazer a troca de variáveis, chamando 3^x de "y". Veja:
(3^x)^2=12*3^x-27 \\ y^2 = 12y-27 \\ -y^2+12y-27 = 0

Como chegamos em uma equação do segundo grau, podemos resolver daqui pra frente pelo método de Bhaskara:
\Delta = 144-4(-1)(-27) \\ \Delta = 144-108 \\ \Delta = 36

Chamando de y' e y'' suas raízes:
y' =  \frac{-12+6}{-2} = 3 \\ \\ y'' =  \frac{-12-6}{-2}= 9

Como fizemos 3^x = y, podemos por fim substituir cada valor de y igualando à 3^x:
3^x = 3 \\ 3^x = 3^1 \\ \boxed{x = 1} \\ \\ 3^x = 9 \\ 3^x = 3^2 \\ \boxed{x = 2}

Logo, o conjunto verdade da equação pode ser definido por:
V = \{1,2\}.

Bons estudos!
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