Question

Determine o conjunto verdade de equaçao exponencial de 2° grau :
3 elevado a 2x = 12.3elevado a x - 27
Essa equaçao de 2 grau me mata :/

Answer 1

Oi Lya,

As equações exponenciais podem ser divididas em três tipos. A do tipo 2, como essa que você postou, é reconhecida pelo fato de recaírem em equações do segundo grau através da troca de variáveis.

De acordo com as propriedades da potenciação, temos:
$a^{m*n}=(a^{m})^n$

Então, essa equação pode ser reescrita da seguinte forma:
$3^{2x}=12*3^x-27 \\ (3^x)^2=12*3^x-27$

Nesse momento, podemos fazer a troca de variáveis, chamando 3^x de "y". Veja:
$(3^x)^2=12*3^x-27 \\ y^2 = 12y-27 \\ -y^2+12y-27 = 0$

Como chegamos em uma equação do segundo grau, podemos resolver daqui pra frente pelo método de Bhaskara:
$\Delta = 144-4(-1)(-27) \\ \Delta = 144-108 \\ \Delta = 36$

Chamando de y' e y'' suas raízes:
$y' = \frac{-12+6}{-2} = 3 \\ \\ y'' = \frac{-12-6}{-2}= 9$

Como fizemos 3^x = y, podemos por fim substituir cada valor de y igualando à 3^x:
$3^x = 3 \\ 3^x = 3^1 \\ \boxed{x = 1} \\ \\ 3^x = 9 \\ 3^x = 3^2 \\ \boxed{x = 2}$

Logo, o conjunto verdade da equação pode ser definido por:
$V = \{1,2\}.$

Bons estudos!