Question

determine o conjunto verdade das equações

log 5 (x+2)^2=2

log 1/2 (x+2)^2=log 1/2 36

log 2 (x-1)+log2 (x-2)=1
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Answer 1

Resposta:

1) Primeiramente, devemos fazer a condição de existência.

$x + 2 > 0 \\ x > - 2$

Portanto, a equação deve admitir uma solução real maior que -2. Do contrário, dizemos que a equação não tem solução real. Vejamos:

$log_{5}(x + 2)^{2} = 2 \\ {(x + 2)}^{2} = {5}^{2} \\ {x}^{2} + 4x + 4 = 25 \\ {x}^{2} + 4x + 4 - 25 = 0 \\ {x}^{2} + 4x - 21 = 0$

∆ = b² - 4ac

∆ = 4² - 4.1.(-21)

∆ = 16 + 84

∆ = 100

x = (-b ± √∆)/2a

x = (-4 ± 10)/2

x' = (-4 + 10)/2 = 6/2 = 3 (serve)

x'' = (-4 - 10)/2 = -14/2 = -7 (não serve)

S = {3}

b)

$log_{ \frac{1}{2} }(x + 2)^{2} = log_{ \frac{1}{2} }(36)$

Condição de existência:

$x + 2 > 0 \\ x > - 2$

Solução:

${(x + 2)}^{2} = 36 \\ x + 2 = \pm \sqrt{36} \\ x + 2 = \pm6 \\ x' = 6 - 2 = 4 \: \: (serve) \\ x'' = - 6 - 2 = - 8 \: \: (nao \: serve)$

S = {4}

c)

$log_{2}(x - 1) + log_{2}(x - 2) = 1$

Condições de existência:

$x - 1 > 0 \\ x > 1$

e

$x - 2 > 0 \\ x > 2$

Portanto, entre x ser maior que 1 e maior que 2, é suficientemente que digamos que x > 2.

Solução:

$log_{2}(x - 1) (x - 2) = 1 \\ (x - 1)(x - 2) = {2}^{1} \\ (x - 1)(x - 2) = 2 \\ {x}^{2} - 2x - x + 2 = 2 \\ {x}^{2} - 3x = 0 \\ x(x - 3) = 0 \\ x' = 0 \: \: (nao \: serve)\\ x'' = 3 \: \: (serve)$

S = {3}