Question

Determine o conjunto verdade da equação cos 2x + 5sen x – 3 = 0 no intervalo [0, 2].

Alguém me dá um help nessa questão?

Answer 1

Para determinar o conjunto verdade (solução) dessa equação, devemos aplicar a relação fundamental da trigonometria e desenvolver a equação do segundo grau resultante.

• Relação Fundamental

Ela nos diz que:

$sen^2(x)+cos^2(x)=1$

Também utilizaremos a relação para cos(2x):

• Cosseno de 2X

É o mesmo que:

$cos(2x)=1-2sen^2(x)$

• Cálculo

$cos(2x)+5sen(x)-3=0$

Aplicando as relações:

$1-2sen^2(x)+5sen(x)-3=0$

$-2sen^2(x)+5sen(x)-2=0$

Vamos chamar sen(x) de K, para facilitar nossos cálculos:

$-2k^2+5k-2=0$

Por Bhaskara:

$\Delta=(-5)^2-4 \cdot (-2) \cdot (-2)$

$\Delta=9$

$k_1=\frac{-5+\sqrt{9}}{2\cdot (-2)}=\frac{-5+3}{-4} =\frac{1}{2}$

$k_2=\frac{5-\sqrt{9}}{2 \cdot (-2)}=\frac{-5-3}{-4} =2$

Transformando K para sen(x) novamente, teremos duas possibilidades:

• Primeira Possibilidade:

$sen(x)=2$

Este seno não existe, pois os valores de seno só vão até 1.

• Segunda Possibilidade:

$sen(x)=\frac{1}{2}$

Os únicos valores de X que satisfazem esta equação são:

$x_1=30^o=\frac{\pi}{6}$

$x_2=150^o=\frac{5\pi}{6}$

• Conjunto Solução

Para o intervalor [0, 2π], o conjunto verdade (solução) será:

$S=\{\: \: \dfrac{\pi}{6} ,\: \: \dfrac{5\pi}{6}\: \: \}$

• Aprenda mais em:

Relação Fundamental:

- https://brainly.com.br/tarefa/8091095

Equações Trigonométricas:

- https://brainly.com.br/tarefa/22436159

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