Question

Determine o conjunto solução no universo dos reais no seguinte caso:
|(x+2)/(2x-3)|<4

Answer 1

$\left|\dfrac{x+2}{2x-3}\right|<4$


$\bullet\;\;$ Condição de existência:

O denominador não pode ser zero:

$2x-3\neq 0\;\;\Rightarrow\;\;x\neq \dfrac{3}{2}$


$\bullet\;\;$ Resolver a inequação, respeitando a condição de existência dada acima:

$\left|\dfrac{x+2}{2x-3}\right|<4\\ \\ \\ -4<\dfrac{x+2}{2x-3}<4$


Multiplicando todos os membros da dupla desigualdade acima por $(2x-3)^{2},$ que é sempre positivo, o sentido da desigualdade não se altera:

$-4\,(2x-3)^{2}<\dfrac{x+2}{2x-3}\cdot (2x-3)^{2}<4\,(2x-3)^{2}\\ \\ \\ -4\,(4x^{2}-12x+9)<(x+2)(2x-3)<4\,(4x^{2}-12x+9)\\ \\ \\ -16x^{2}+48x-36<(x+2)(2x-3)<16x^{2}-48x+36$


Resolver a dupla desigualdade acima é equivalente a resolver o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{lc} -16x^{2}+48x-36<(x+2)(2x-3)&~~~~~~\mathbf{(i)}\\ \\ (x+2)(2x-3)<16x^{2}-48x+36&~~~~~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação $\mathbf{(i)}:$

$-16x^{2}+48x-36<(x+2)(2x-3)\\ \\ -16x^{2}+48x-36<2x^{2}-3x+4x-6\\ \\ -16x^{2}+48x-36<2x^{2}+x-6\\ \\ 0<2x^{2}+16x^{2}+x-48x-6+36\\ \\ 18x^{2}-47x+30>0\\ \\ 18x^{2}-27x-20x+30>0\\ \\ 9x\,(2x-3)-10\,(2x-3)>0\\ \\ (2x-3)(9x-10)>0$


As raízes do lado esquerdo são $x_{1}=\dfrac{3}{2}\;\;\text{ e }\;\;x_{2}=\dfrac{10}{9}.$


Logo, a solução para a inequação $\mathbf{(i)}$ é

$S_{1}=\left(-\infty\,,\;\dfrac{10}{9}\right)\cup\left(\dfrac{3}{2}\,,\;+\infty \right ).$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação $\mathbf{(ii)}:$

$(x+2)(2x-3)<16x^{2}-48x+36\\ \\ 2x^{2}+x-6<16x^{2}-48x+36\\ \\ 0<16x^{2}-2x^{2}-48x-x+36+6\\ \\ 14x^{2}-49x+42>0\\ \\ 7\cdot (2x^{2}-7x+6)>0\\ \\ 2x^{2}-7x+6>0\\ \\ 2x^{2}-4x-3x+6>0\\ \\ 2x\,(x-2)-3\,(x-2)>0\\ \\ (x-2)(2x-3)>0$


As raízes do lado esquerdo são $x_{3}=2\;\;\text{ e }\;\;x_{4}=\dfrac{3}{2}.$

Logo, a solução para a inequação $\mathbf{(ii)}$ é

$S_{2}=\left(-\infty\,,\;\dfrac{3}{2}\right)\cup\left(2\,,\;+\infty \right ).$


$\bullet\;\;$ A solução para a inequação dada inicialmente é

$S=S_{1}\cap S_{2}\\ \\ S=\left[\left(-\infty\,,\;\dfrac{10}{9}\right)\cup\left(\frac{3}{2}\,,\;+\infty \right ) \right ]\cap \left[\left(-\infty\,,\;\dfrac{3}{2}\right)\cup\left(2\,,\;+\infty \right ) \right ]\\ \\ \\ S=\left(-\infty\,,\;\dfrac{10}{9}\right)\cup \left(2\,,\;+\infty \right ).$


ou escrevendo em notação usual,

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\;x<\dfrac{10}{9}~\text{ ou }~x>2\right. \right \}.$