Question

Determine o conjunto solução dos sistemas de inequações:
a.
${2x - 4 \geqslant 0} \\ {x}^{2} - 7x + 10 < 0$
b.
$- {x}^{2} + 6x + 3 < {x}^{2} - 3 \leqslant \\ 2 {x}^{2} + 5x + 1$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Igor, que a resolução é simples, porém um pouco trabalhosa.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

a)

{2x-4 ≥ 0
{x² - 7x + 10 < 0

Veja: vamos encontrar as raízes de cada inequação dada. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais para cada uma delas. Para encontrar as raízes de cada uma das inequações deveremos igualá-las a zero. Assim, teremos:

2x - 4 = 0 ---> 2x = 4 --> x = 4/2 ---> x = 2
e
x²-7x+10 = 0 ---> x' = 2; e x'' = 5

Agora vamos estudar a variação de raízes de cada uma das inequações dadas. Logo:

2x-4 ≥ 0 ....... - - - - - - - - -  (2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x²-7x+10<0.... + + + + + +  (2) - - - - - - - - - - - - -  (5) + + + + + + + +

Agora veja: para 2x-4 ≥ 0 vão valer todos os valores de "x" que sejam maiores ou iguais a "2"; e para x²-7x+10 < 0 vão valores todos os valores de "x" que estiverem entre "2" e "5". Então a resposta será a intersecção entre o que vale para a primeira inequação e para a 2ª inequação.
Faremos o seguinte: marcaremos o que vale para cada uma das inequações com o símbolo / / / / / / / / e marcaremos a intersecção com o símbolo | | | | |  .
Assim, fazendo isso, teremos:

2x-4 ≥ 0    ..... ___________ (2) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
x²-7x+10<0....___________ (2) / / / / / / / / / / / /  (5) _______________
Intersecção... __________ (2) | | | | | | | | | | | | | | | (5) _______________

Assim, como você está vendo, a intersecção ficou entre "2" e "5", ou seja, teremos que:

2 < x < 5 ---- Esta é a resposta para o item "a".

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução conforme uma das seguintes formas,  ambas equivalentes à resposta acima:

S = {x ∈ R | 2 < x < 5}
ou
S = (2; 5).

b)

 -x² + 6x + 3 < x² - 3 ≤ 2x² + 5x + 1 ---- veja, vamos separar em duas inequações, ficando:

a primeira assim: -x²+6x+3 < x² - 3;  e  segunda assim: x²-3 ≤ 2x²+5x+1

b.i) Trabalhando-se com a primeira, teremos:

-x²+6x+3 < x² - 3 ---- passando todo o 1º membro da desigualdade para o 2º, ficaremos assim:

0 < x²-3 + x² - 6x - 3
0 < 2x² - 6x - 6 --- ou, o que é a mesma coisa:
2x² - 6x - 6 > 0 --- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

x² - 3x - 3 > 0 ---- se você utilizar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

x' = [3-√(21)]/2 ---- o que dá aproximadamente "-0,79".
x'' = [3+√(21)]/2 --- o que dá aproximadamente "3,79".

b.ii) Trabalhando-se com a segunda, teremos:

x² - 3 ≤ 2x² + 5x + 1 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 ≤ 2x² + 5x + 1 - x² + 3 ---- reduzindo os termos semelhantes:
0 ≤ x² + 5x + 4 ---- ou, o que é a mesma coisa:
x² + 5x + 4 ≥ 0 ----- se você utilizar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

x' = -4
x'' = -1

b.iii) Agora vamos estudar a variação de sinais das duas inequações em função de suas raízes:

x² - 3x - 3 > 0 .....+ + + + + + + + + + + +[(3-√21)/2] - - - -  [(3+√21)/2]+ + + + 
x² + 5x + 4 ≥ 0.... + + + (-4) - - - (-1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Veja que o que vale para cada uma delas é onde tem sinal de MAIS, pois a primeira inequação tem que ser MAIOR do que zero e a segunda tem que ser MAIOR ou IGUAL a zero.
A resposta vai ser a intersecção entre o que vale para cada uma das duas inequações acima. Então vamos fazer como fizemos para a questão do item "a": vamos marcar o que vale para cada uma das inequações com o símbolo / / / / / / /. E a intersecção marcaremos com o símbolo  | | | | | . Fazendo isso, teremos;

x² - 3x - 3 > 0 ...../ / / / / / / / / / / / / / / / / / [(3-√21)/2] ______ [(3+√21)/2] / / / / / / /
x² + 5x + 4 ≥ 0.. / / / / / (-4) ____(-1) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
Intersecção.......| | | | | | (-4) ____(-1) | | | | [(3-√21)/2]_______ [(3+√21)/2] | | | | | |

Note que a intersecção ficou nos seguintes intervalos reais:

x ≤ -4, ou -1 ≤ x < (3-√21)/2, ou x > (3+√21)/2  ---- Esta é a resposta.

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução conforme uma das seguintes formas, ambas equivalentes à resposta acima:

S = {x ∈ R | x ≤ -4, ou -1 ≤ (3-√21)/2, ou x > (3+√21)/2}.
ou
S = (-∞; -4] ∪ [-1; (3-√21)/2) ∪ (3+√21)/2); +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

Ok?
Adjemir.