Question

Determine o conjunto solução de 1 < Іx – 1І < 2. Me ajudem, pfvr!

Answer 1

Em termos geométricos, $|x-1|$ corresponde à distância de $x$ a 1. Portanto, como os números que estão a 1 unidade de distância de 1 são 0 e 2 e os números que estão a 2 unidades de distância de 1 são –1 e 3, o conjunto solução corresponde à união dos intervalos identificados acima, isto é: ]–1, 0[ ∪ ]2, 3[.

Em termos algébricos, temos:
$1 < |x-1| < 2 \iff |x-1|>1 \wedge |x-1|<2$

A definição de módulo diz-nos que:
$|x-1| = \begin{cases} x-1 & x \geq 1 \\ 1-x & x < 1 \\ \end{cases}$

Portanto, da primeira condição obtemos:
$|x-1| > 1 \iff (x-1 > 1 \wedge x \geq 1) \vee (1-x > 1 \wedge x < 1) \iff (x>2 \wedge x \geq 1) \vee (x<0 \wedge x < 1) \iff x \in ]-\infty, 0[ \cup ]2, \infty[$

Da 2.ª condição, vem:
$|x-1| < 2 \iff (x-1 < 2 \wedge x \geq 1) \vee (1-x < 2 \wedge x < 1) \iff (x<3 \wedge x \geq 1) \vee (x>-1 \wedge x < 1) \iff x \in ]-1, 3[$

Intersetando os resultados acima, obtemos o conjunto solução:
$(]-\infty, 0[\cup]2, \infty[) \cap ]-1, 3[ = (]-\infty, 0[ \cap ]-1, 3[) \cup (]2, \infty[ \cap ]-1, 3[) = ]-1, 0[ \cup ]2, 3[$

Answer 2

Eu não sei como vou te explicar meu raciocínio, mas vou tentar, o número tem que estar compreendido entre 1 e 2, mas tem um porém, esse número também pode ser negativo, pois o módulo o deixará positivo, fazendo com que ele possa ter tanto o sinal de negativo como positivo.

A primeira coisa a ser observar é que não pode ser 1 pois irá zerar, nem poderá ser 0, pois o módulo de -1 é igual 1, sendo que que a expressão do meio deve ser menor que um e maior que 2.

Sendo o x negativo, se ele for até 0,9 periódico, o conjunto será verdadeiro.
Portanto para negativo, -1<x<0

Sendo x positivo, ele não pode zerar, então x é diferente de 1, para dar um número maior que 1, x deve ser maior que 2, porém x não pode ser 3, pois senão o número dará 2 e ele não corresponderá ao intervalo, portanto:
2<x<3

Teremos somente 2 intervalos completamente abertos: compostos pelas soluções:
-1<x<0
e
2<x<3

Olha eu sei que não é fácil desenvolver todo esse raciocínio somente de cabeça, mas peço que pegue um papel, e vá anotando o que eu vou dizendo em uma linguagem matemática, e espero que fique mais claro. 
Simplesmente é muito complicado passar o que tá dentro da nossa mentre, pra mente dos outros, espero ter ajudado!

Bjss ^^
Avalie minha resposta.
Bons estudos!