Question

Determine o conjunto solução das inequações seguintes, sendo U = R

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Resolver a seguinte inequação, sendo o conjunto solução os números Reais:

$\bf{\dfrac{(x+3)\cdot(x^2+3)}{x^2+x-6}\ge0}$

Antes de iniciarmos a resolução em si, vamos fatorar a expressão do denominador dessa inequação. Para fatorarmos, precisamos saber as raízes de x² + x - 6 = 0:

Vamos encontrar dois números cujo a soma seja 1 e o produto seja - 6:

a + b = 1

a · b = - 6

Podemos perceber que as raízes dessa equação são a = - 2 e b = 3:

Vamos agora reescrever a inequação dada na questão:

$\bf{\dfrac{\diagup\!\!\!\!(x+3)\cdot(x^2+3)}{(x-2)\cdot\diagup\!\!\!\!(x+3)}\ge0}\\ \\ \\ \bf{\dfrac{(x^2+3)}{(x-2)}\ge0}$

Agora vamos analisar os sinais do numerador e do denominador da inequação:

Para o numerador, podemos perceber que ele vai ser positivo para todo valor de x, isso pois todo número elevado a um expoente par é positivo e ainda está sendo somado com o 3, o que garante com certeza que x² + 3 vai ser maior que 0.

Para o denominador, teremos que analisar melhor:

x - 2 = 0

x = 2

x - 2 > 0

x > 2

x - 2 < 0

x < 2

Dessa forma, podemos perceber que para garantir que toda a inequação seja maior do que 0, teremos que ter que x seja maior do que 2.

Logo, teremos o seguinte conjunto solução:

$\bf{S=\left\{x\in\mathbb{R}~/~x>2\\~\right\}}~ou~\bf{S=\left\{(2,\infty)\right\}}$

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!