Question

Determine o conjunto solução das equações exponenciais, em R:

Answer 1

a)

$\mathsf{{5}^{x}-625=0}\\\mathsf{{5}^{x}=625}\\\mathsf{{5}^[x}={5}^[4}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{x=4}}}$

b)

$\mathsf{{2}^[2x}=4096}\\\mathsf{{2}^{2x}={2}^{12}}\\\mathsf{2x=12}\\\mathsf{x=\dfrac{12}{2}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{x=6}}}$

c)

$\mathsf{\sqrt{11}={11}^{2x}}\\\mathsf{{11}^{2x}=\sqrt{11}}\\\mathsf{{11}^{2x}={11}^{\frac{1}{2}}}$

$\mathsf{2x=\dfrac{1}{2}}\\\mathsf{4x=1}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{x=\dfrac{1}{4}}}}$

d)

$\mathsf{{2}^{x-3}=1}\\\mathsf{{2}^{x-3}={2}^{0}}\\\mathsf{x-3=0}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{x=3}}}$

Answer 2

Resposta:

a) S = {4}

b) S = {6}

c) S = {1/4}

d) S = {3}

Explicação passo-a-passo:

Nesse tipo de questão, sempre tenha em mente uma coisa:

tente deixar as bases iguais. Assim, você poderá igualar os expoentes.

Vou te mostrar fazendo a questão:

a)

${5}^{x} - 625 = 0$

${5}^{x} = 625$

Temos que escrever 625 como uma potência de 5. Por isso, vamos fatorá-lo:

625 | 5

125 | 5

25 | 5

5 | 5

1 | →→→ 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁴

Portanto, 625 = 5⁴:

${5}^{x} = {5}^{4}$

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

• x = 4

Podemos escrever um conjunto solução S em que 4 é o único elemento:

S = {4}

b)

${2}^{2x} = 4096$

Novamente, vamos tentar escrever 4096 como uma potência de 2. Para isso, vamos fatorar:

4096 | 2

2048 | 2

1024 | 2

512 | 2

256 | 2

128 | 2

64 | 2

32 | 2

16 | 2

8 | 2

4 | 2

2 | 2

1 | →→→ 2^12

${2}^{2x} = {2}^{12}$

Como as bases são iguais, igualamos os expoentes:

2x = 12

• x = 6

S = {6}

c)

Aqui, precisamos lembrar de uma super propriedade, em que podemos transformar raízes em potências, e vice-versa:

$\sqrt[n]{ {x}^{m} } = {x}^{ \frac{m}{n} }$

Assim, podemos escrever:

$\sqrt{11} = \sqrt[2]{ {11}^{1} } = {11}^{ \frac{1}{2} }$

Substituindo na nossa equação:

${11}^{ \frac{1}{2} } = {11}^{2x}$

1/2 = 2x

1/2 / 2 = x

1/2 × 1/2 = x

1/4 = x

• x = 1/4

S = {1/4}

d)

${2}^{x - 3} = 1$

Lembre que: qualquer número elevado a 0 é igual a 1. Logo:

${2}^{0} = 1$

Podemos substituir isso na equação dada:

${2}^{x - 3 } = {2}^{0}$

Igualando:

x - 3 = 0

• x = 3

S = {3}