Question

: Determine o conjunto solução da seguinte equação exponencial : $5^{x-2} + 5^{x+1} = 126$

Answer 1

$5^{x-2} + 5^{x+1} = 126$

Como $0=1-1$

$5^{x-2+0} + 5^{x+1} = 125+1$

$5^{x-2+1-1}+5^{x+1}=5^3+5^0$

Como $0=3-3$

$5^{x+1-3}+5^{x+1}=5^3+5^{3-3}$

$5^-3.5^{x+1}+1.5^{x+1}=5^3+5^-3.5^3$

$5^{x+1}.(5^-3+1)=5^3.(1+5^-3)$

$5^{x+1}.(5^-3+1)=5^3.(5^-3+1)$

$5^{x+1}=\frac{5^3.(5^-3+1)}{(5^-3+1)}$

$5^{x+1}=\frac{5^3.1}{1}$

$5^{x+1}=5^3$

Como temos as bases iguais igualamos os expoentes. Assim:

$x+1=3$

$x=3-1$

$x=2$

Logo a solução da equação é $x=2$.

Answer 2

$5^{x-2}+5^{x+1}=126\\\\5^x\cdot5^{-2}+5^x\cdot5^1=126\\\\\frac{5^x}{5^2}+5\cdot5^x=126$

 Consideremos $5^x=k$, segue,

$\frac{k}{25}+5k=126\\\\k+125k=126\cdot25\\\\126k=126\cdot25\;\;\div(126\\\\k=1\cdot25\\\\\boxed{k=25}$

 Por conseguinte,

$5^x=k\\\\5^x=25\\\\5^x=5^2\\\\\boxed{\boxed{x=2}}$