Question

determine o conjunto solução da inequação (x-2)^2 <2x -1 considerando como universo o conjunto dos reais

Answer 1

Dada a inequação:

$(x-2)^2<2x-1$

Então:

$(x-2)^2<2x-1\Rightarrow x^2-4x+4-2x+1<0\Rightarrow x^2-6x+5<0$

Resolvendo a equação temos:

$x^2-6x+5=0\Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{6\pm\sqrt{6^2-4(1)(5)}}{2}$

$x_{1,2}=\dfrac{6\pm\sqrt{16}}{2}=3\pm 2$

$\boxed{x_1=1}$

$\boxed{x_2=5}$

Como todo polinômio pode ser fatorado em termos relacionados a sua raízes, temos que:

$x^2-6x+5<0\Rightarrow (x-1)(x-5)<0$

Assim, por se tratar de uma parábola com concavidade para cima (a>0) temos que os valores pelos quais sua expressão é menor que zero são os valores entre as raízes, logo:

$x^2-6x+5<0\Rightarrow (x-1)(x-5)<0\Rightarrow 1<x<5$

Para ajudar a entender, a imagem abaixo é da parábola.

Espero ter ajudado!