Question

Determine o conjunto solução da inequação x-1/x+3>2

Answer 1

Resolver a inequação:

$\mathsf{\dfrac{x-1}{x+3}>2\qquad\quad com~x\ne -3}$

$\mathsf{\dfrac{x-1}{x+3}-2>0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x-1}{x+3}-\dfrac{2(x+3)}{x+3}>0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x-1-2(x+3)}{x+3}>0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x-1-2x-6}{x+3}>0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-x-7}{x+3}>0}\\\\\\ \mathsf{-\,\dfrac{x+7}{x+3}>0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x+7}{x+3}<0}$

Acima temos uma inequação quociente. Vamos avaliar os sinais do numerador e do denominador. Montando o quadro de sinais:

$\large\begin{array}{ll} \mathsf{x+7}&\mathsf{\qquad \overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-7}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{++++++++++}{\textsf{------------------}}\!\!\!\underset{-3}{\circ}\!\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\ \mathsf{x+3}&\mathsf{\qquad \overset{----------------}{\textsf{---------}\!\!\!\underset{-7}{\bullet}\!\!\!\textsf{------------------}}\!\!\!\underset{-3}{\circ}\!\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x+7}{x+3}}&\mathsf{\qquad\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-7}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{----------}{\textsf{------------------}}\!\!\!\underset{-3}{\circ}\!\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}} \end{array}$

Como queremos que o quociente seja negativo, o intervalo de interesse é

$\mathsf{-7<x<-3.}$

Conjunto solução: S = {x ∈ ℝ: −7 < x < −3}

ou em notação de intervalos

S = ]−7, −3[.

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Bons estudos! :-)