Question

Determine o conjunto soluçao da inequaçao do 2 grau.
X²-5x+6>0

Answer 1

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Resolver a inequação:

$\mathsf{\mathsf{x^2-5x+6>0}}$


Primeiro vamos fatorar o lado esquerdo da inequação acima. Para isso, vamos encontrar as raízes pela fórmula resolutiva:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-5}\\\mathsf{c=6} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6}\\\\ \mathsf{\Delta=25-24}\\\\ \mathsf{\Delta=1}$
$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}}\end{array}$

            $\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{5-1}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{5+1}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{4}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{6}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=2}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=3}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes)} \end{array}$


Então, fatorando o lado esquerdo, a inequação fica

$\mathsf{(x-r_1)(x-r_2)>0}\\\\ \mathsf{(x-2)(x-3)>0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto}\quad\mahsf{(i)}$


Montando o quadro de sinais:

$\begin{array}{cc} \mathsf{x-2}&\quad\mathsf{\underline{~~---}\underset{2}{\bullet}\underline{++++}\underset{3}{\bullet}\mathsf{\underline{+++~~}}_\blacktriangleright}\\\\ \mathsf{x-3}&\quad\mathsf{\underline{~~---}\underset{2}{\bullet}\underline{----}\underset{3}{\bullet}\mathsf{\underline{+++~~}}_\blacktriangleright}\\\\\\ \mathsf{(x-2)(x-3)}&\quad\mathsf{\underline{~~+++}\underset{2}{\bullet}\underline{----}\underset{3}{\bullet}\mathsf{\underline{+++~~}}_\blacktriangleright} \end{array}$


Como queremos que o produto ao lado esquerdo de $\mathsf{(i)}$ seja positivo, o intervalo de interesse é

$\mathsf{x<2~~ou~~x>3.}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~x<2~~ou~~x>3\}}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left]-\infty,\,2\right[\,\cup\,\left]3,\,+\infty\right[.}$


Bons estudos! :-)


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