Question

Determine o conjunto solução da equação log2 (x2+2x-7) - log2 (x-1) = 2

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Propriedade dos logaritmos

$log_ca = x \Longleftrightarrow c^x=a$

$log_ab - log_bc = log_a\dfrac{b}{c}$

Usando isso

$log_2(x^2+2x-7)-log_2(x-1)=log_2(\dfrac{x^2+2x-7}{x-1})=2$

$2^2=\dfrac{x^2+2x-7}{x-1}\\ \\x^2+2x-7=4x-4\\x^2-2x-3=0$

Resolvendo essa equação quadratica

$x_1=\dfrac{2+\sqrt{16}}{2} = \dfrac{2+4}{2}=3 \\ \\x_2 = \dfrac{2-4}{2} = -2$

A função logaritmo está definida nos reais positivos, então x = -2 não é solução da equação, a única solução é x = 3, logo, se S é o conjunto solução da equação

S = {3}

Podemos verificar se x = 3 é de fato uma solução da equação substituindo na mesma

$log_2(\dfrac{3^2+2\cdot3-7}{3-2})=2 \\ \\ log_2(\dfrac{9+6-7}{2})=2 \\ \\log_2(\dfrac{8}{2})=2 \\ \\log_24=2$

Usando a propriedade que tá lá em cima

$log_24 = 2 \Longleftrightarrow 2^2=4$

Testado e comprovado rs

Bons estudos.