Question

determine o conjunto solução da equação biquadrada
${x}^{4} - 25 {x}^{2} = 0$
e também
${x}^{4} - 8 {x}^{2} + 7$

Answer 1

Observe a primeira equação. Podemos fatorar o lado esquerdo da igualdade de tal forma:

x⁴ - 25x² = 0

x²(x² - 25) = 0

Já que o produto de dois fatores é 0, um deles precisa ser 0, isto é, ou x² = 0 ou x² - 25 = 0. Pela primeira, obtemos que x = 0. Pela segunda, obtemos x² = 25 ∴ x = ±5. Sendo assim, o conjunto verdade dessa equação é V = {-5, 0, 5}

Agora, rumo à segunda equação. É notável que não tem um sinal de igualdade na segunda equação, então por enquanto, vou apenas assumir que isso seja um engano e que seja = 0. Caso contrário, me avise que corrigir-me-ei. De qualquer jeito, observe que não podemos usar o mesmo truque de fatoração desta vez: há uma constante + 7 sem o termo x. Mas, vamos reduzir isso à uma equação quadrática simples: chame de z = x². Assim, obtemos

z² - 8z + 7 = 0

Δ = (-8)² - 4.7 = 64 - 28 = 36

z = (8 ± 6)/2

z' = (8 + 6)/2 = 7

z'' = (8 - 6)/2 = 1

Agora, resolvemos para x² = 1 e x² = 7; obtemos que x = ±1 e x = ±√7. Portanto, o conjunto verdade da equação x⁴ - 8x² + 7 = 0 é V = {-√7, -1, 1, √7}. Voilà.