Question

Determine o conjunto solução da equação 3/x-5 + 1/x+5 = 10-x²/x²-25 Qual a condição de existência da equação em R?

Answer 1

Vamos tentar achar o MMC na equação para sumirmos com as frações e facilitar os cálculos:

3/x - 5 + 1/x + 5 = 10 - x²/x² - 25

Olhando o último denominador conseguimos afirmar que ele representa um produto notável conhecido, o quadrado de uma diferença:

a² - b² = (a + b)(a - b)
x² - 5² = (x + 5)(x - 5)

Agora vamos reescrever:

3/x - 5 + 1/x + 5 = 10 - x²/(x + 5)(x - 5)

Agora sabemos que o MMC é (x + 5)(x - 5) e vamos multiplicar cada fração pelo equivalente para chegar ao valor:

3.(x + 5)/(x + 5)(x - 5) + 1.(x - 5)/(x + 5)(x -5) = 10 - x²/(x + 5)(x - 5)

Cortamos todos os denominadores:

3x + 15 + x - 5 = 10 - x²

Vamos passar tudo para um lado para aplicarmos nossos conhecimentos em cima de equações do 2° grau:

x² + 4x + 10 - 10 = 0
x² + 4x = 0
x (x + 4) = 0

Quando dois números multiplicados dão zero é porque necessariamente um deles é igual a zero:

x = 0 ou x + 4 = 0
ou x = -4

Agora vamos analisar a condição de existência. Sabendo que o denominador nunca pode ser igual a zero:

x - 5 ≠ 0 e x + 5 ≠ 0 e x² - 25 ≠ 0
x ≠ 5 e x ≠ - 5 e x ≠ ±5

Portanto, o conjunto solução é:

S = {x e R/ x = 0 ou x = -4 onde x ≠ ±5}

Espero ter ajudado! DISCÍPULO DE THALES.