determine o conjunto imagem da função
f(x)=x²-3x
Soluções para a tarefa
Veja que f(x) = x² - 3x é uma função de segundo grau. Portanto, seu gráfico será uma parábola.
Como o coeficiente que acompanha a variável x² é positivo (a = 1), trata-se de uma parábola com concavidade voltada para cima. Assim, podemos afirmar que essa parábola possui um ponto mínimo, que é o vértice da parábola.
Se temos um ponto mínimo, o conjunto imagem dessa função será composto por todos os valores de f(x) maiores do que a ordenada do vértice da parábola.
As coordenadas do vértice da parábola são:
(-b/2a; -Δ/4a)
Como só estamos interessados na ordenada desse ponto, vamos calcular apenas ela:
-Δ/4a = -(b² - 4ac)/4a = -((-3)² - 4.1.0)/4.1 = -9/4
Logo, o ponto mínimo dessa parábola é o ponto (-b/2a; -9/4). Novamente, veja que não é necessário calcular a abscissa -b/2a. A partir da ordenada, que vale -9/4, podemos concluir que o conjunto imagem dessa função é todo f(x) maior do que -9/4:
Im = {f(x) ∈ R | f(x) > -9/4}