Question

Determine o conjunto imagem da função definida por:f(x)=x (elevado a dois) - x - 2.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Joicelins, que a resolução é simples.
Pede-se o conjunto-imagem da função definida por:

f(x) = x² - x - 2

Note: toda equação do 2º grau terá o seu conjunto-imagem determinado pelo "y" do vértice (yv). O conjunto-imagem será menor ou igual ao "yv" se a função tiver um ponto de máximo; e o conjunto-imagem será maior ou igual ao "yv" se a função tiver um ponto de mínimo.
E, para saber se uma função do 2º grau terá ponto de mínimo ou de máximo, basta ver qual é o sinal do termo "a" (o termo "a" de funções do 2º grau é o coeficiente de x²).
Como, na sua função, o termo "a" é positivo, então ela terá um ponto de mínimo (teria um ponto de máximo se o termo "a" fosse negativo).
Assim, já sabemos que o conjunto-imagem da função do 2º grau da sua questão será MAIOR ou IGUAL ao "yv".
Então vamos calcular qual será o "yv" (que é o "y" do vértice do gráfico da função e que é uma parábola).
Note que o "y" do vértice (yv) é encontrado assim:

yv = - (b² - 4ac)/4a

Note que os coeficientes da equação da sua questão são estes: a = 1 (é o coeficiente de x²); b = -1 (é o coeficiente de x); c = -2 (é o coeficiente do termo independente).
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

yv = - ((-1)² - 4*1*(-2))/4*1
yv = - (1 + 8)/4
yv = - (9)/4 --- ou apenas:
yv = - 9/4   <--- Este é o valor do "y" do vértice (yv).

Assim, o conjunto-imagem será dado por:

f(x) ≥ - 9/4

Ou, se quiser, poderá apresentar o conjunto-imagem assim, o que é a mesma coisa:

Im = {f(x) ∈ R | f(x) ≥ - 9/4}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.