Question

Determine o conjunto dos valores reais de x que satisfazem cada uma das equações.

$a) {2}^{x + 3} + {2}^{x - 2} = 66$
$b) \: {9}^{x} - 10 \times {3}^{x} = - 9$ ​

Answer 1

Resposta:

a) S = { 3 }

b) S = { 0 ; 2 }

Explicação passo-a-passo:  

Enunciado:

Determine o conjunto dos valores reais de x que satisfazem cada uma das equações.

$a) 2^{x+3} +2^{x-2} =66$    

$b)9^{x} -10*3^{x} =-9$

Resolução:  

$a) 2^{x+3} +2^{x-2} =66$

Primeira aproximação à resolução está no decompor potências em dois

produtos de potências com a mesma base e expoentes diferentes

Observação 2 →   Está-se muito habituado a fazer produto de potências coma mesma base

Exemplo → 7³ * 7² = $7^{5}$   que nem nos lembramos que podemos passar

de $7^{5}$   para 7³ * 7².

É à volta deste raciocínio que se resolve muitas equações exponenciais

$2^{x} *2^{3} +2^{x} *2^{-2} =66$

$2^{x} *8+2^{x} *\frac{1}{4} =66$

$( 8 + \frac{1}{4} )*2^{x} =66$

$(\frac{32}{4}+\frac{1}{4} )*2^{x} =66$

$\frac{33}{4} *2^{x} =66$

$2^{x} = \frac{\frac{66}{1} }{\frac{33}{4} }$

$2^{x}=\frac{4*66}{33}$

A divisão de 66 por 33 é possível porque no numerador e no denominado sé existem multiplicações.

$2^{x} =2*4$

$2^{x}=2^{3}$

x = 3

$b)9^{x} -10*3^{x} =-9$

Observação 1 → A equação é facilmente transformada numa equação do 2º grau

$(3^{2})^x -10*3^{x} +9=0$

$(3^{x})^2 -10*3^{x} +9=0$

Observação 2 →  numa potencia de potencia , ter algo elevado a 2*x

é o mesmo que ter x*2

Formula de Bhascara

$3^{x} =\frac{-(-10)+\sqrt{10^{2} -4*1*9} }{2*1}$     Buscar primeira raiz

$3^{x} =\frac{10+\sqrt{64} }{2}$

$3^{x} =3^{2}$

x = 2

$3^{x} =\frac{-(-10)-\sqrt{10^{2} -4*1*9} }{2*1}$  

$3^{x} =\frac{2}{2}$

$3^{x} =1$  

$3^{x} =3^{0}$

x = 0

Bom estudo

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Sinais: ( * ) multiplicação