Question

Determine o comprimento das diagonais CE e AD do hexágono regular, sabendo que ele possui 3 raiz 3 sobre 2 cm de área ​

Answer 1

Sabemos que, para o hexágono regular, a área é dada por:

$Area~=~\frac{3\,.\,a^2\,.\,\sqrt{3}}{2}~~~~~~onde~"a"~\acute{e}~a~aresta~do~hexagono$

Substituindo na equação o valor da área dado no texto:

$\frac{3\sqrt{3}}{2}~=~\frac{3\,.\,a^2\,.\,\sqrt{3}}{2}\\\\\\3\sqrt{3}~=~3\,.\,a^2\,.\,\sqrt{3}\\\\\\a^2~=~\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}\\\\\\a^2~=~1\\\\\\\boxed{a~=~1~cm}$

O hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado igual a aresta do hexágono como pode ser visto no anexo.

Uma breve observação do desenho é suficiente para podermos concluir a diagonal AD é igual a 2 vezes o tamanho da aresta, logo:

$\overline{AD}~=~2\,.\,a\\\\\\\overline{AD}~=~2\,.\,1\\\\\\\boxed{\overline{AD}~=~2~cm}$

Ja a diagonal CE exige um pouco mais de trabalho.

Observando o anexo 2, podemos dizer que a diagonal CE é a hipotenusa de um triangulo retângulo (vermelho) com catetos iguais a "x" e "y". Vamos determinar os valores de "x" e "y":

$x~=~a+\frac{a}{2}\\\\\\x~=~1,5\,.\,a\\\\\\x~=~1,5\,.\,1\\\\\\\boxed{a~=~1,5~cm}$

$"y"~\acute{e}~a~altura~de~um~triangulo~equilatero.~Utilizando~Pitagoras:\\\\\\a^2~=~y^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2\\\\\\y^2~=~1^2-\frac{1^2}{2^2}\\\\\\y~=~\sqrt{1-\frac{1}{4}}\\\\\\\boxed{y~=~\frac{\sqrt{3}}{2}~cm}$

Agora, utilizando Pitágoras para achar o valor de CE:

$\overline{CE}^{~2}~=~x^2+y^2\\\\\\\overline{CE}^{~2}~=~1,5^2~+~\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\\\\\\overline{CE}^{~2}~=~\left(\frac{3}{2}\right)^2~+~\frac{\sqrt{3}^{\,2}}{2^2}\\\\\\\overline{CE}^{~2}~=~\frac{9}{4}~+~\frac{3}{4}\\\\\\\overline{CE}^{~2}~=~\frac{12}{4}\\\\\\\boxed{\overline{CE}~=~\sqrt{3}~cm}$