Question

Determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole que tem como equação 5 y2 - 3 x2 - 210 = 0. Obs: esboce o gráfico.

Answer 1

$5y^{2}-3x^{2}-210=0\\ \\ 5y^{2}-3x^{2}=210$


Dividindo os dois lados da equação por $210$, temos

$\dfrac{5y^{2}}{210}-\dfrac{3x^{2}}{210}=1\\ \\ \boxed{\dfrac{y^{2}}{42}-\dfrac{x^{2}}{70}=1}$


$\bullet\;\;$ Esta é uma hipérbole com eixo real (onde estão localizados os focos) paralelo ao eixo $y$. E mais, como não houve translação, o centro desta hipérbole é a origem $O\left(0,\,0)$ e o eixo real coincide com o eixo vertical $y$.


Comparando a equação desta hipérbole com a equação reduzida de uma hipérbole e eixo real vertical, com centro na origem

$\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}=1$


temos

$b^{2}=42 \Rightarrow \boxed{b=\sqrt{42}}\\ \\ a^{2}=70 \Rightarrow \boxed{a=\sqrt{70}}$


Determinar a distância $c$ de um dos focos ao centro:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\\ \\ c^{2}=70+42\\ \\ c^{2}=112\\ \\ c=\sqrt{112}\\ \\ \boxed{c=4\sqrt{7}}$


$\bullet\;\;$ Logos os focos são os pontos $F_{1}\left(0,\,4\sqrt{7} \right )$ e $F_{2}\left(0,\,-4\sqrt{7} \right )$.


$\bullet\;\;$ Os vértices são os pontos $\left(0,\,\pm b\right )$:

$V_{1}\left(0,\,\sqrt{42}\right )$ e $V_{2}\left(0,\,-\sqrt{42}\right )$


$\bullet\;\;$ A excentricidade $e$ da hipérbole é

$e=\dfrac{c}{a}\\ \\ e=\dfrac{4\sqrt{7}}{\sqrt{42}}\\ \\ e=\dfrac{\sqrt{112}}{\sqrt{42}}\\ \\ e=\sqrt{\dfrac{112}{42}}\\ \\ e=\sqrt{\dfrac{112 \div 14}{42 \div 14}}\\ \\ e=\sqrt{\dfrac{8}{3}}\\ \\ e=\sqrt{\dfrac{2^{2}\cdot 2\cdot 3}{3^{2}}}\\ \\ \boxed{e=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}}$


O esboço do gráfico está em anexo: