Question

determine o centro e o raio dos seguintes circulos ( minha duvida se da principalmente ao fato de os fatores x e y.

2x² + 2y² - 2x - 2y = 0

2x² + 2y² - 12x - 16y = 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Italo, que a resolução é simples.

São pedidos o  centro C(x₀; y₀) e o raio = r das  equações das circunferências cujas equações são dadas abaixo.

Antes veja que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r terá a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀) = r²        . (I) <--- Vamos deixar "guardada" esta expressão, pois daqui a pouco vamos necessitar dela.

a) 2x² + 2y² - 2x - 2y = 0 ------ note que poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

x² + y² - x - y = 0 ---- para encontrar o centro C(x₀; y₀) e o raio = r deveremos formar os quadrados da equação acima. Para isso, primeiro vamos ordenar, ficando assim:

x² - x + y² - y = 0 ---- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que serão acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim, teremos;

(x - 1/2)² - 1/4 + (y - 1/2)² - 1/4 = 0  ---- ordenando, teremos:
(x - 1/2)² + (y - 1/4)² - 1/4 - 1/4 = 0

Veja que "-1/4 - 1/4 = - 2/4 = - 1/2 (após simplificarmos tudo por "2"). Assim, ficaremos:

(x - 1/2)² + (y - 1/2)² - 1/2 = 0 ------- passando "-1/2" para o 2º membro, teremos:
(x - 1/2)² + (y - 1/2)² = 1/2 ----- note que o "1/2" do 2º membro poderá ser substituído por "(√(1/2))² . Assim, fazendo isso, teremos:

(x - 1/2)² + (y - 1/2)² = (√(1/2))²

Agora veja: faça a comparação entre a equação reduzida acima com a expressão (I), que deixamos "guardada" logo no início. Dessa comparação você já poderá concluir que a equação do item "a" tem centro e raio iguais a:

C(1/2; 1/2) e r = √(1/2)  <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".


b)  2x² + 2y² - 12x - 16y = 0 ------ utilizando raciocínio idêntico ao da questão anterior, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

x² + y² - 6x - 8y = 0 ------ ordenando, teremos:
x² - 6x + y² - 8y = 0 ----- agora vamos formar os quadrados (lembre-se: teremos que subtrair aqueles números que forem adicionados por força da formação dos quadrados):

(x-3)² - 9 + (y-4)² - 16 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
(x-3)² + (y-4)² - 25 = 0 ----- passando "25" para o 2º membro, teremos:
(x-3)² + (y-4)² = 25 ---- veja que 25 = 5². Assim:
(x-3)² + (y-4)² = 5²

Da comparação da equação acima com a expressão (I) você já poderá afirmar que a circunferência do item "b" tem centro e raio iguais a:

C(3; 4) e r = 5 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.