Question

Determine o centro e o raio de cada uma das circunferências abaixo

a) (x-√2)²+ y²-100

b) (x + 1/2) ^ 2 + (y - 5) ^ 2 = 10

c) x ^ 2 + y ^ 2 - 8x + 6y + 1 = 0

d) x ^ 2 + y ^ 2 = 2(x - y) + 1

Answer 1

O centro e o raio das circunferências são:

a) C(√2, 0), r = 10

b) C(-1/2, 5), r = √10

c) C(4, -3), r = √24

d) C(1, -1), r = √3

Circunferências

Uma circunferência é o conjunto dos pontos que estão a uma mesma distância de um ponto comum chamado centro. As circunferências podem ser representadas por:

• equação reduzida: (x - xc)² + (y - yc)² = r²

• equação geral: x² + y² + mx + ny + p = 0

a) Como a equação já está na forma reduzida, teremos:

C(√2, 0), r = 10

b) Como a equação já está na forma reduzida, teremos:

C(-1/2, 5), r = √10

c) Observe o produto notável (a - b)² = a² - 2ab + b². Então:

• (x² - 8x + b²) = (x - xc)² ⇒ Pode-se concluir que -8 = -2b, então b = 4

• (y² + 6y + b²) = (x - xc)² ⇒ Pode-se concluir que 6 = -2b, então b = -3

Devemos somar os valores de b² em cada caso no segundo membro da equação:

x² -8x + 16 + y² + 6y + 9 = -1 + 16 + 9

(x - 4)² + (y + 3)² = 24

Logo, teremos C(4, -3) e r = √24.

d) Da mesma forma:

x² + y² = 2x - 2y + 1

x² + y² - 2x + 2y = 1

• (x² - 2x + b²) = (x - xc)² ⇒ Conclui-se que -2 = -2b, então b = 1

• (y² + 2y + b²) = (x - xc)² ⇒ Conclui-se que 2 = -2b, então b = -1

Portanto:

x² - 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 1 + 1 + 1

(x - 1)² + (y + 1)² = 3

Logo, teremos C(1, -1) e r = √3.

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