Question

Determine o centro de massa de um
sólido com densidade constante que é
limitado pelo cilindro parabólico x = y² e
pelos planos x = z, z = 0 e x = 1.

Answer 1

Plano verde: z=x
Plano anaranjado: z=0
Plano azul: x = 1

Superficie amarilla: x = y²
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Cotas para Y:
$y^2=1\iff y=\pm 1$
                                     $\boxed{-1\leq y \leq 1}$
Cotas para  X:
                                     $\boxed{0\leq x\leq y^2}$
Cotas para Z:
                                     $\boxed{0\leq z\leq x}$

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Región de Integración: 
                 $G=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3: -1\leq y\leq 1\,,\, 0\leq x\leq y^2\,,\,0\leq z\leq x\right\}$
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Densidad del sólido:$\rho(x,y,z)=k$
Masa del sólido:

             $\displaystyle m=\iiint\limits_G \rho(x,y,z) \,dV\\ \\ \\ m=\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2}\int_{0}^xk\,dzdxdy\\ \\ \\ m=k\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2} x \,dx dy \\ \\ \\ m=k\int_{-1}^1\left.\left(\dfrac{x^2}{2}\right)\right|_0^{y^2}dy$

$\displaystyle m=\dfrac{k}{2}\int_{-1}^1y^4\,dy\\ \\ \\ m=\dfrac{k}{2}\left.\left(\dfrac{y^5}{5}\right)\right|_{-1}^1\\ \\ \\ \boxed{m=\dfrac{k}{5}}$

Momentos relativos a
EJE X
            $\displaystyle M_x=\iiint\limits_G x\rho(x,y,z)dV\\ \\ \\ M_x=k\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2}\int_{0}^xx\;dzdxdy\\ \\ \\ \boxed{M_x=\dfrac{2k}{21}}$

EJE Y
            $\displaystyle M_y=\iiint\limits_G y\rho(x,y,z)dV\\ \\ \\ M_y=k\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2}\int_{0}^xy\;dzdxdy\\ \\ \\ \boxed{M_y=0}$

EJE Z
            $\displaystyle M_z=\iiint\limits_G z\rho(x,y,z)dV\\ \\ \\ M_z=k\int_{-1}^1\int_{0}^{y^2}\int_{0}^xz\;dzdxdy\\ \\ \\ \boxed{M_z=\dfrac{k}{21}}$

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CENTRO DE MASA
                $C=\left(\dfrac{M_x}{m},\dfrac{M_y}{m},\dfrac{M_z}{m}\right)\\ \\ \\ \boxed{C=\left(\dfrac{10}{21}\;,\;0\;,\;\dfrac{5}{21}\right)}$