Matemática, perguntado por analarafreitas2, 10 meses atrás

determine o 25° termo da PA (4,7,10,...).an=a,+(1).r

Soluções para a tarefa

Respondido por jorgnsilva

Resposta:

O vigésimo quinto termo da PA (4,7,10,...) é 76.

Explicação passo-a-passo:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\ \\a_{25}=4+(25-1)3\\\\a_{25}=4+24.3\\\\a_{25}=4+72\\\\a_{25}=76$

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (4, 7, 10,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:4

c)vigésimo quinto termo (a₂₅): ?

d)número de termos (n): 25 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 25ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do vigésimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos de crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 4 ⇒

r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₅ = 4 + (25 - 1) . (3) ⇒

a₂₅ = 4 + (24) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₂₅ = 4 + 72 ⇒

a₂₅ = 76

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O vigésimo quinto termo da P.A.(4, 7, 10, ...) é 76.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₅ = 76 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

76 = a₁ + (25 - 1) . (3) ⇒

76 = a₁ + (14) . (3) ⇒

76 = a₁ + 72 ⇒ (Passa-se 72 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

76 - 72 = a₁ ⇒

4 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 4 (Provado que a₂₅ = 76.)

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