Question

determine o 101 termo da pa (3,7,11,15...)

Answer 1

Resposta:

403

Explicação passo-a-passo:

utilizaremos a progressão aritmética que é dada pela seguinte fórmula

An= A1+(n-1).r

Sendo An: número que deseja (no caso 101

A1: o primeiro termo da progressão (no caso 3)

n são os números que a progressão apresenta, no caso 101

r: a razão, ou seja, a diferença entre o termo 2 com 1, 4 com 3 e assim por diante (a2-a1 = 4 ; a4-a3 = 4 ....)

Portanto:

a101= 3 + (101 - 1) . 4

a101 = 3 + 100.4

a101 = 403

Answer 2

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (3, 7, 11, 15, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 3

b)centésimo primeiro termo (a₁₀₁): ?

c)número de termos (n): 101 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 101ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do centésimo primeiro termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

===========================================

(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 3 ⇒

r = 4

===========================================

(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o centésimo primeiro termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₁ = 3 + (101 - 1) . (4) ⇒

a₁₀₁ = 3 + (100) . (4) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₁₀₁ = 3 + 400 ⇒

a₁₀₁ = 403

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 101º termo da P.A(3, 7, 11, 15, ...) é 403.

=======================================================

DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₁ = 403 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo primeiro termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

403 = a₁ + (101 - 1) . (4) ⇒

403 = a₁ + (100) . (4) ⇒

403 = a₁ + 400 ⇒       (Passa-se 400 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

403 - 400 = a₁ ⇒  

3 = a₁ ⇔                     (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3                          (Provado que a₁₀₁ = 403.)

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!