Question

Determine, no conjunto R, o conjunto de cada uma das seguintes equações biquadradas:

a) x⁴-8x²-9=0
b)x⁴-4=3x²
c)x⁴-16x²=0
d)x⁴-8x²+16= 0

se possível com conta, obrigado.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para a letra A, temos:

$(x^2)^2 - 8x^2 - 9 = 0$

Faça com que $x^2$ seja $y$. Então, temos uma nova equação polinomial:$y^2 - 8y - 9 = 0\\y = \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{8\pm10}{2}\\y(1) = 9\ y(2) = -1$

Para encontrar as raízes, basta substituir na última transformação:

$x^2 = y\\\\x^2 = 9\\x = \sqrt9\\ x(1) = 3\\\\x^2 = -1\\x(2) = \sqrt-1$

Como o exercício pede para o conjunto solução estar entre o intervalo (-∞, +∞), então pense que $\mathbb{R}\setminus \sqrt-1$, ou seja, raiz quadrada de menos um não é  e não está incluída como uma solução no conjunto intervalo dos números reais. Então para a letra A, C(s) = {$\pm$3}.

Executando a mesma estratégia em b, temos:

$(x^2)^2 - 4 = 3x^2\\y^2 - 3y - 4 = 0\\\\y = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\y = \frac{3\pm5}{2}\\\\x^2 = y\\x = \sqrt{4} = 2\\\\x^2 = -1\\x = \sqrt{-1}$

Novamente, para o conjunto solução dessa equação, teremos C(s) = {$\pm$2}. Isso pois  $\mathbb{R}\setminus \sqrt-1$ .

Em c, temos:

$(x^2)^2 - 16x^2 = 0\\y^2 - 16y = 0$

Executando o mesmo algoritmo anterior, teremos que as raízes serão 16 e 0.

$x^2 = y\\x = \sqrt16\\x = \pm4\\\\x^2 = y\\x^2 = 0\\x = \sqrt0 = 0$

O conjunto solução nesta, será de C(s) = {$\pm$4, 0}.

Já para d, temos que:

$(x^2)^2 - 8x^2 + 16 = 0\\y^2 - 8y + 16 = 0$

Como raízes para essa equação quadrática, temos como único valor 4. Portanto, para essa equação biquadrática, temos como resolução em R:

$x^2 = y\\x^2 = 4\\x = \sqrt{4} \\x = \pm2\\C = (\pm2)$