Question

Determine m real, para que e equação 2^(2x+1) - (2m-3)*2^(x+1) + 7-2m = 0 admita pelo menos uma raiz real.

Answer 1

Para que a equação $2^{2x+1}-(2m-3).2^{x+1}+7-2m=0$ admita pelo menos uma raiz real, temos que $m \geq \frac{5}{2}$.

Perceba que podemos escrever $2^{2x+1}$ e $2^{x+1}$ das seguintes maneiras:

$2^{x+1}=2^{2x}.2 = (2^x)^2.2$

e

$2^{x+1}=2^x.2$.

Sendo assim, a equação pode ser reescrita como:

$(2^x)^2.2-(2m-3).2^x.2+7-2m=0$.

Vamos considerar que $y=2^x$, sendo y > 0.

Então,

2y² - (2m - 3)y.2 + 7 - 2m = 0

2y² - 4ym + 6y + 7 - 2m = 0

2y² + y(-4m + 6) + (7 - 2m) = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Vamos determinar o valor de delta:

Δ = (-4m + 6)² - 4.2.(7 - 2m)

Δ = 16m² - 48m + 36 - 56 + 16m

Δ = 16m² - 32m - 20

Para que a equação tenha pelo menos uma raiz real, precisamos ter Δ ≥ 0, ou seja,

16m² - 32m - 20 ≥ 0

cuja solução é:

$m \geq \frac{5}{2}$ ou $m\leq -\frac{1}{2}$.

Como y > 0, então temos que $m \geq \frac{5}{2}$.