Question

Determine m ∈ R de modo que a equação x² + mx + (m² - m - 12) = 0 tenha uma raiz nula e a outra positiva.

Answer 1

x² + mx + (m² - m - 12) = 0          

se 0 é uma das raízes significa que ele zera a equação, assim:
0² + m.0 + m² - m - 12 = 0 
m² - m - 12 = 0

Bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.1.(-12)
Δ = 1 + 48
Δ = 49

m = -b +/- √Δ /2a
m = -(-1) +/- √49  /2.1
m = 1 +/- 7 /2

m1 = 1+7 /2 = 8/2 = 4
m2 = 1-7  /2 = -6/2 = -3

Agora vamos substituir m em ambos os casos na equação principal e ver qual valor de m satisfaz a segunda condição (que é a outra raíz ser positiva).

p/ m = 4
x² + mx + (m² - m - 12) = 0          
x² + 4x + (4² - 4 - 12) = 0
x² + 4x = 0       << colocando o x em evidência:
x(x + 4) = 0

"Propriedade: Se ab = 0, ou a = 0 ou b = 0", assim:

x = 0

ou
x + 4 = 0
x = -4

x1 = 0, x2 = -4  <<< não satisfaz a condição de existência.
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Logo, obviamente a resposta é -3, mas vamos confirmar:

p/m = -3
x² + mx + (m² - m - 12) = 0          
x² - 3x + ((-3)² - (-3) - 12) = 0
x² - 3x + (9 + 3 - 12) = 0
x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0

x1 = 0

x - 3 = 0
x = 3  <<< satisfaz.

Logo m = -3

Bons estudos