Question

Determine m para que se tenha, para qualquer
valor de x E IR,x² + (2m- 3)x + (m² -1) > 0 . Em
seguida assinale a alternativa correta:

a) m /m IR,m < 1/12
b) m /m IR,m <13/12
c) m /m IR,-13/12< m <0
d) m /m IR,m>- 13/12
e) m/m IR,m > 3

Answer 1

Boa tarde,

As funções do  segundo grau representam parábolas.

Se a função tiver raizes, haverão valores para os quais a parábola cortará o eixo dos xx.

Assim, dado que a = 1 (coeficiente de x ² ), positivo,  a parábola ficará com a forma de um " U ", concavidade virada para cima.

Para que o gráfico não cruze o eixo dos xx a parábola não pode ter nenhum zero ou raiz.

Para isso se pegarmos em  x² + ( 2 m- 3 ) x + ( m² -1 ) = 0 , o  Δ terá que ser

negativo ( nenhuma solução real = nunca cruzar eixo dos xx)

Δ = b ² * 4 a c

Δ = ( 2 m - 3 ) ² - 4 * 1 * ( m ² - 1 ) 

Δ = 4 m ² - 12 m + 9 - 4 m ² + 4

Δ = - 12 m +13 

Δ  < 0   ⇔ - 12 m + 13 < 0

⇔ -12 m < - 13

⇔ m > 13/12 

que não aparece como solução no enunciado, mas inclui m > 3

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Verificação

m= 2 > 13/12

x² + ( 2m- 3) x + ( m² -1)

= x ² + ( 2* 2 - 3)  x + ( 2 ² - 1 )

⇒ x ² +  x  + 3 

⇔ parábola com gráfico acima do eixo dos xx, logo representando função com imagens sempre positivas

Satisfaz o pedido

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restantes verificações

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a) m /m IR,m < 1/12

m = 0

⇔ x ² - 3 x - 1 > 0

⇔ a função tem dois zeros ou duas raízes

não serve para o pedido

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x ² + ( 2m- 3 ) x + ( m ² -1) > 0 

b) m /m IR,m < 13 / 12  

fazendo de novo m= 0

não se aplica ao pedido

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c)  m /m IR,-13/12< m <0

por exemplo

m = -1 , está neste intervalo

x ² + ( 2 m- 3 ) x + ( m ²  -1 ) > 0

x² + ( 2 * ( - 1 ) - 3 ) x + ( ( -1 ) ² -1) > 0

⇔ x ² - 5 x > 0

⇔ apresenta a função x ² - 5 x dois valores que a tornam = 0 

não satisfaz o pedido

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d) m /m IR,m> - 13/12

escolhendo m = 0 também não satisfaz pedido como verificado atrás

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e) m/m IR,m > 3

m = 4

x² + (2 * 4 - 3) x + ( 4 ²- 1) > 0

⇔ x ² + 5 x + 15 > 0

Função com gráfico totalmente acima do eixo dos xx,

Satisfaz o pedido, que já era satisfeito para valores do m > 13 / 12

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Resposta : condição e) satisfaz o pedido++++++++++++++
(NOTA : sinal ( * ) é multiplicação  ;  sinal ( / ) é divisão   ;  ( ^) sinal de potência )+++++++++++++
Espero ter ajudado.Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.Sei que ganho menos pontos, mas pretendo ensinar devidamente o que sei.
Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário.Bom estudo