Determine m e n para que o polinômio 2x^4+3x^3+mx^2-nx-3 seja divisível por x^2-2x-3.
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Veja que:
x² - 2x - 3 = x² + x - 3x - 3
x² - 2x - 3 = x.(x + 1) - 3.(x + 1)
x² - 2x 3 = (x + 1).(x - 3)
Assim, para que esse polinômio seja divisível por x² - 2x - 3 ele deve ser divisível por x + 1 e por x - 3
Pelo teorema do resto, devemos ter P(-1) = 0 e P(3) = 0
=> P(-1)
P(-1) = 2.(-1)⁴ + 3.(-1)³ + m.(-1)² - n.(-1) - 3
P(-1) = 2.1 + 3.(-1) + m.1 + n - 3
P(-1) = 2 - 3 + m + n - 3
P(-1) = m + n - 4
Assim:
m + n - 4 = 0
m + n = 4
=> P(3)
P(3) = 2.3⁴ + 3.3³ + m.3² - n.3 - 3
P(3) = 2.81 + 3.27 + 9m - 3n - 3
P(3) = 162 + 81 + 9m - 3n - 3
P(3) = 9m - 3n + 240
Então:
9m - 3n + 240 = 0
3m - n + 80 = 0
3m - n = -80
Podemos montar o sistema:
• m + n = 4
• 3m - n = -80
Somando as equações:
m + 3m - n + n = 4 - 80
4m = -76
m = -76/4
m = -19
Substituindo na primeira equação:
m + n = 4
-19 + n = 4
n = 4 + 19
n = 23
Os valores de m e n devem ser:
m = - 19 e n = 23
Explicação:
O divisor, x² - 2x - 3, pode ser fatorado assim:
x² - 2x - 3 = x² + x - 3x - 3
x² - 2x - 3 = x(x + 1) - 3(x + 1)
x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
Como a divisão do polinômio 2x⁴ + 3x³ + mx² - nx - 3 por (x - 3)(x + 1) deve ser exata, ou seja, ter resto igual a zero, pelo teorema do resto, temos:
> Quando dividimos esse polinômio por (x - 3), o resto será 0
P(3) = 0
2·(3)⁴ + 3·(3)³ + m·(3)² - n·(3) - 3 = 0
2·81 + 3·27 + m·9 - 3n - 3 = 0
162 + 81 + 9m - 3n - 3 = 0
240 + 9m - 3n = 0
9m - 3n = - 240
3m - n = - 80
> Quando dividimos esse polinômio por (x + 1), o resto será 0:
P(-1) = 0
2·(-1)⁴ + 3·(-1)³ + m·(-1)² - n·(-1) - 3 = 0
2·1 + 3·(-1) + m·1 + n - 3 = 0
2 - 3 + m + n - 3 = 0
- 4 + m + n = 0
m + n = 4
Sistema de equações:
{m + n = 4
+ {3m - n = - 80
4m = - 76
m = - 76/4
m = - 19
m + n = 4
n = 4 - m
n = 4 - (-19)
n = 4 + 19
n = 23
Pratique mais em:
https://brainly.com.br/tarefa/24680508
