Question

determine m de modo que o valor máximo da função do segundo grau f(x)=(m+2) x^2+(m+5) x+3 seja 4

Answer 1

Temos a função

$\mathsf{f(x)=(m+2)x^2+(m+5)x+3}$

De coeficientes

$\mathsf{a=(m+2),~~b=(m+5)~~e~~c=3.}$

Queremos que sua imagem máxima seja igual a 4.

Como a imagem máxima de uma função quadrática é a ordenada do vértice da parábola representativa da função, que pode ser obtida pela seguinte relação:

$\mathsf{Y_v=\dfrac{-\Delta}{~~4a},~~com~\Delta=b^2-4ac}$

Basta igualarmos:

$\mathsf{\dfrac{-\Delta}{~~4a}=4}~\Longleftrightarrow~\mathsf{\dfrac{-[(m+5)^2-4\cdot(m+2)\cdot3]}{4\cdot(m+2)}=4}\\\\\\\mathsf{\dfrac{-[m^2+10m+25-4\cdot(3m+6)]}{4m+8}=4}\\\\\\\mathsf{\dfrac{-[m^2+10m+25-12m-24]}{4m+8}=4}\\\\\\\mathsf{\dfrac{-[m^2-2m+1]}{4m+8}=4}\\\\\\\mathsf{\dfrac{-m^2+2m-1}{4m+8}=4}\\\\\\\mathsf{-m^2+2m-1=4\cdot(4m+8)}\\\\\mathsf{-m^2+2m-1=16m+32}\\\\\mathsf{-m^2-14m-33=0}$

Vou solucionar esta equação por completamento de quadrados:

$\mathsf{-m^2-14m-33=0~~~~~~(multiplicando~por~-1...)}\\\\\mathsf{m^2+14m+33=0}\\\\\mathsf{m^2+14m=-33~~~~(adicionando~o~quadrado~de~\dfrac{14}{2}~em~ambos~os~lados...)}\\\\\mathsf{m^2+14m+7^2=-33+7^2~~~~(temos~um~trin\^omio~do~quadrado~perfeito)}\\\\\mathsf{(m+7)^2=-33+49}\\\\\mathsf{(m+7)^2=16}\\\\\mathsf{\sqrt{(m+7)^2}=\sqrt{16}}\\\\\mathsf{|m+7|=4}\\\\\mathsf{m+7=\mp~4}$

$\begin{Bmatrix}\mathsf{m+7=-4~\rightarrow~m=-4-7~\rightarrow~m=-11}\\\\\mathsf{ou}\\\\\mathsf{m+7=4~\rightarrow~m=4-7~\rightarrow~m=-3~~~~~~}\end.$

Sendo assim m é igual a - 11 ou m é igual a - 3. 

Substituindo m por - 11 obtemos a seguinte função:

$\mathsf{f(x)=-9x^2-6x+3}$

Substituindo m por -3 obtemos a seguinte função:

$\mathsf{f(x)=-x^2+2x+3}$

Ambas as funções possuem imagem máxima igual a 4.

Respectivos gráficos já plotados em anexo: