Question

Determine m de modo que a função seja contínua em x = 0
$\sf{ f(x)~=~} \begin{cases}\sf{ \dfrac{ e^{\sin(x)}-1}{2^x - \cos(x)} ~,~se ~ x\neq 0 } \\ \\ \sf{ \dfrac{ m\Big( lne - e^x \Big)}{x} ~,~se ~ x=0 } \end{cases}$

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Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos determinar o valor de $m$ de modo que a função $f(x)$ abaixo, definida por partes, seja contínua em $x=0$:

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^{\sin(x)}-1}{2^x-\cos(x)},~se~x\neq0\\\\ \dfrac{m\cdot(\ln(e)-e^x)}{x},~se~x=0\\\end{cases}$

Para que a função seja contínua, ela não deve apresentar pontos de descontinuidade em nenhum valor de seu domínio, isto é: para que ela seja contínua em zero, seus limites quando $x\rightarrow0$ devem ser iguais.

Então, fazemos:

$\underset{x\rightarrow0}\lim \dfrac{e^{\sin(x)}-1}{2^x-\cos(x)}=\underset{x\rightarrow0}\lim~\dfrac{m\cdot(\ln(e)-e^x)}{x}$

Primeiro, lembre-se que $\ln(e)=1$ e aplique a propriedade: $\underset{x\rightarrow c}\lim a\cdot f(x)=a\cdot\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)$

Assim, teremos:

$\underset{x\rightarrow0}\lim~\dfrac{e^{\sin(x)}-1}{2^x-\cos(x)}=m\cdot\underset{x\rightarrow0}\lim~\dfrac{1-e^x}{x}$

Observe que quando fazemos $x=\rightarrow0$, encontramos a indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Assim aplicamos a regra de L'Hôpital: $\boxed{\underset{x\rightarrow c}\lim~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow c}\lim~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L}$, para $f(x)$ e $g(x)$ contínuas e deriváveis, em que $g'(x)\neq0$.

Assim, aplicamos a regra de L'Hôpital:

$\underset{x\rightarrow0}\lim~\dfrac{(e^{\sin(x)}-1)'}{(2^x-\cos(x))'}=m\cdot\underset{x\rightarrow0}\lim~\dfrac{(1-e^x)'}{(x)'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $[f(g(x))]'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função seno é a função cosseno e a derivada da função cosseno é o oposto da função seno.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada da função exponencial é calculada por: $(a^x)'=a^x\cdot \ln(a)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é calculada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Assim, teremos:

$\underset{x\rightarrow0}\lim~\dfrac{\cos(x)\cdot e^{\sin(x)}}{2^x\cdot\ln(2)+\sin(x)}=m\cdot\underset{x\rightarrow0}\lim~\dfrac{-e^x}{1}$

Então, calcule os limites aplicando a propriedade $\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)=f(c)$

$\dfrac{\cos(0)\cdot e^{\sin(0)}}{2^0\cdot\ln(2)+\sin(0)}=m\cdot(-e^0)$

Lembre-se que $\cos(0)=1$, $\sin(0)=0$ e $n^0=1,~n\neq0$. Assim, teremos:

$\dfrac{1\cdot e^0}{1\cdot\ln(2)+0}=m\cdot(-1)\\\\\\ \dfrac{1}{\ln(2)}=-m$

Multiplique ambos os lados da equação por $(-1)$

$m=-\dfrac{1}{\ln(2)}$

Este é o valor de $m$ que buscávamos que torna esta função contínua em $x=0$.