Question

Determine m de modo que a equação (m-3)x² + 2(m-2)x + m + 1 = 0 tenha raízes reais tais que x1 < x2 < 1.

Answer 1

 (m-3)x² + 2(m-2)x + m + 1 = 0     a=m-3   ; b =2(m-2)   ; c=m+1

Δ=4(m-2)² -4*(m-3)*(m+1)
Δ=4m²-16m+16 -4*(m²-2m-3)
Δ=4m²-16m+16 -4m²+8m+12
Δ=-8m+28

y=ax²+bx+c    Δ=b²-4*a*c
x2=[-b+√Δ]/2a
x1=[-b-√Δ]/2a
x1<x2<1
x1<x2


[-b-√Δ]/2a < [-b+√Δ]/2a-2√Δ/2a

<0-√Δ/a<0  ==>√Δ/a>0   << Observe aqui

p=√Δ   raiz ==>√(-8m+28)=0 ... -8m+28>0 ...m<7/2 e (-8m+28 sempre positivo)

p++++++++++++++++(7/2)lado direito não existe m

q=m-3 ..raiz m=3

q-----------------(3)++++++++++++++++++++++++++++ 

  Estudo de sinais:
p+++++++++++++++++++++++++++(7/2)lado direito não existe m
q-----------------(3)++++++++++++++++++++++++++++ 
 p/q---------------(3)++++++++++++++(7/2)lado direito não existe m

3< m < 7/2 (i)


x2 <1 

[-b+√Δ]/2a<1

 [-b+√Δ]/2a -2a/2a <0
 
[-b+√Δ -2a]/2a <0
 
[-2(m-2)+√(-8m+28) -2(m-3)]/2(m-3) <0
 
[-2m+4+√(-8m+28) -2m+6]/2(m-3) <0

[-4m+10+√(-8m+28) ]/2(m-3) <0

p=-4m+10+√(-8m+28)

raiz -4m+10+√(-8m+28)=0

√(-8m+28) =4m-10

-8m+28=16m²-80m+100

16m²-72m+72=0 

...m'=3  e m''=3/2

Para m=3 OK

Para m=3/2  não serve

p+++++++++(3)------------(3/2)++++++++++

q=2(m-3)  
q--------------(3)++++++++++++++++++++

Estudo de sinais:

p+++++++++(3/2)------------(3)+++++++++++
q----------------------------------(3)+++++++++++
p/q-------------(3/2)+++++++(3)+++++++++++

(-∞,3/2)  (ii)

(i)  U  (ii)   

3< m < 7/2  U  (-∞,3/2)   é a resposta

Answer 2

Resposta:

m<3/2 e 3<m<7/2

Explicação passo-a-passo:

(m-3)x² + 2(m-2)x + m + 1 = 0

a=m-3 => m≠3

b=2(m-2)

c=m+1

x1<x2<1

Δ=b²-4ac=[2(m-2)]²-4(m-3)(m+1)=4(m-2)²-4(m²+m-3m-3)=4(m²-4m+4)-4m²+8m+12=4m²-16m+16-4m²+8m+12=28-8m

x1=(-b-√Δ)/2a

x2=(-b+√Δ)/2a

Do enunciado:

x1<x2

(-b-√Δ)/2a<(-b+√Δ)/2a

-√Δ<√Δ

2√Δ>0

√Δ>0

(√Δ)²>0²

28-8m>0

8m<28

2m<7

m<7/2 (I)

x2=(-b+√Δ)/2a=(-2(m-2)+√Δ)/2(m-3)=(-2m+4+√Δ)/2(m-3)

Do enunciado:

x2<1

(-2m+4+√Δ)/2(m-3)<1

-2m+4+√Δ<2(m-3)

√Δ<2m-6+2m-4

√Δ<4m-10

(√Δ)²<(4m-10)²

Δ<16m²-80m+100

28-8m<16m²-80m+100

16m²-72m+72>0

2m²-9m+9>0 (II)

$Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~2m^{2}-9m+9=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=2{;}~b=-9~e~c=9\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-9)^{2}-4(2)(9)=81-(72)=9\\\\m^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-9)-\sqrt{9}}{2(2)}=\frac{9-3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\\\\m^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-9)+\sqrt{9}}{2(2)}=\frac{9+3}{4}=\frac{12}{4}=3$

Montando as condições de existência:

$\begin{matrix}&&\frac{3}{2}&&3&&7/2&\\ (I)~~~~~~~~~~m<7/2&x&x&x&x&x&0\\ (II)~2m^{2}-9m+9>0&x&0&~&0&x&0\\ (I)\cap(II)&x&0&~&0&x&0\end{matrix}$

m<3/2 e 3<m<7/2