Question

Determine :

Letra A

O valor de x de modo que os números 3x-1 , x+3 e x+9 formam nessa ordem uma P.A


Letra B

O valor de x de modo que os quadrados os numeros (x+1) , ( raiz(x) +15) e (x+3) formam nessa ordem uma P.A

Answer 1

Olá.

A
A razão de uma P.A pode ser obtida a partir da subtração de um termo pelo seu anterior.Assim temos:
$\mathsf{r=a_3-a_2}\\\mathsf{r=(x+9)-(x+3)}\\\mathsf{r=x+9-x-3}\\\boxed{\mathsf{r=6}}$

O segundo termo é igual ao primeiro, só que somado 1 vez com a razão. Matematicamente falando é:
$\mathsf{a_1+r=a_2}$

Assim, podemos montar a seguinte igualdade:

$\mathsf{3x-1+r=x+3}\\\mathsf{3x-1+6=x+3}\\\mathsf{3x-x=3+1-6} \\\mathsf{2x=4-6}\\\mathsf{2x=-2}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-2}{2}}\\\\\boxed{\mathsf{x=-1}}$

Para a questão A, x vale -1.

Vamos testar:
$\begin{array}{ccc}\mathsf{a_1=3x-1}&|&\mathsf{3\cdot(-1)-1=-3-1=-4}\\ \mathsf{a_2=x+3}&\mathsf{|}&\mathsf{-1+3=2} \\\mathsf{x+9}&|&-1+9=8\end{array}\\\\\\\mathsf{P.A=\{-4,\ 2,\ 8\}}$

É possível notar agora que está aumentando de 6 em 6 (a razão).

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B
Nessa vamos ter de aplicar uma propriedade de P.A.

$\boxed{\mathsf{a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}}}\\\\\\ \mathsf{(\sqrt{x+15})^2=\dfrac{(x+1)^2+(x+3)^2}{2}}\\\\\\\mathsf{Usaremos\ \mathbf{Produtos\ Not\'aveis:}}\\\\\mathsf{x+15=\dfrac{x^2+2x+1+x^2+6x+9}{2}}\\\\\mathsf{2\cdot(x+15)=2x^2+8x+10}\\\mathsf{2x+30=2x^2+8x+10} \\\mathsf{2x^2+6x-20}$

Gerou uma equação de 2°, logo, temos de resolvê-la:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot2\cdot(-20)}}{2\cdot2}} \\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-8\cdot(-20)}}{4}} \\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+160}}{4}} \\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-6\pm\sqrt{196}}{4}} \\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-6\pm14}{4}}$

$\begin{array}{ccc}\mathsf{x=\dfrac{-6+14}{4}}&|&\mathsf{x=\dfrac{-6-14}{4}}\\&|& \\\mathsf{x=\dfrac{8}{4}}&|&\mathsf{x=\dfrac{-20}{4}}\\&|& \\\mathsf{x=2}&|&\mathsf{x=-5}\\-----&&------ \end{array}\right\\\\\\\mathsf{S=\{-5,\ 2\}}$

X pode valer -5 ou 2.


Qualquer dúvida, deixe nos comentários.Bons estudos.