Question

Determine k para o ponto Q(1,k) seja exterior à circunferência (x+2)² + (y-3)²=25

resposta k>-1 k<7
não enredo essa parte sendo q eu achei os valores -1 e 7
quero q prove pq k tem q ser esses valores

Answer 1

Primero encontremos los puntos de intersección entre la circunferencia y la recta x = 1:

$(1+2)^2+(y-3)^2=25\\ \\ 9+(y-3)^2=25\\ (y-3)^2= 16\\ y-3=\pm 4 \\ \\ y\in\{-1,7\}\\ \\ \text{Ent\~ao os pontos s\~ao: }P_1=(1,-1)\text{ e }P_2=(1,7)\\ \text{Pontos sobre a circunferencia (ordenadas)}:-1,7\\ \text{Puntos interiores a circunferencia (ordenadas): }y\in(-1,7)$

$\text{Puntos exteriores a circunferencia (ordenadas): }\\ \\ y\notin[-1,7]=y\in\{(-\infty,+\infty)-[-1,7]\}=y\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty)$

Answer 2

Vamos lá.

Veja,Viniciubrito, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como, aliás, já costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se o valor de "k" do ponto (1; k) para que esse ponto seja EXTERIOR à circunferência cuja equação é esta:

(x+2)² + (y-3)² = 25

ii) Veja como é simples. Como queremos que o ponto seja EXTERIOR (fora da circunferência) e esse ponto é P(1; k), ou seja, a abscissa "x" é igual a "1", então basta que façamos a substituição de "x" por "1" na equação da circunferência acima e vamos encontrar as raízes referentes à ordenada "y". Essas raízes estarão marcando os pontos na própria circunferência, ou seja, para x = 1 encontraremos os "y" correspondentes na própria circunferência.

iii) Então vamos substituir "x" por "1" na equação dada, que é esta:

(x+2)² + (y-3)² = 25 ---- substituindo-se "x" por "1", teremos:
(1+2)² + (y-3)² = 25
(3)² + (y-3)² = 25 ---- desenvolvendo os quadrados, teremos:
9 + y²-6y+9 = 25 ---- ou apenas:
y² - 6y + 18 = 25 --- passando "25" para o 1º membro, temos:
y² - 6y + 18 - 25 = 0 --- ou apenas:
y² - 6y - 7 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

y' = - 1
y'' = 7.

Ora, mas os pontos "-1" e "7" são as ordenadas que estão sobre a própria circunferência. Como no ponto (1; k) a ordenada é "k", e como queremos que esse ponto seja EXTERIOR à circunferência, então "k" deverá ser menor que a raiz negativa (no caso "-1") e maior que a raiz positiva (no caso "7"), ou seja, deveremos ter isto para que o ponto seja EXTERIOR à circunferência:

k < -1, ou k > 7 ---- Esta é a resposta.

Observação: você colocou que no gabarito há k > -1 ou k < 7. Mas não pode ser maior do que "-1" e menor do que "7". Tem que ser menor do que "-1" e maior do que "7", pois o ponto é exterior, ok?

Apenas pra que você tenha uma ideia visual do gráfico da circunferência da sua questão, veja esse gráfico no endereço abaixo (pois aqui no Brainly eu não sei construir gráficos) e constate que no ponto (1; k) deveremos ter a ordenada "k" sendo menor do que "-1" e maior do que "7". Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2B2)%C2%B2+%2B+(y-3)%C2%B2+%3D+25

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.