Question

Determine k na equação x² + 8x + k = 0, de modo que uma raiz seja triplo da outra.

Answer 1

Olá, Marilene, bom dia.

Uma solução alternativa à que o meu amigo Gabriel deu é partindo da fórmula de Bhaskara.

 

$<var>\Delta=b^2-4ac=64-4k \Rightarrow \sqrt\Delta=\sqrt{64-4k}</var>$

 

$<var>x=\frac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a} \Rightarrow x = \frac{-8 \pm \sqrt{64-4k}}{2} \Rightarrow</var>$

 

$<var>x_1=-4+\frac{\sqrt{64-4k}}{2}\text{ e } x_2=-4-\frac{\sqrt{64-4k}}{2}</var>$

 

Como $<var>x_1=3x_2</var>$ temos:

 

$<var>-4+\frac{\sqrt{64-4k}}{2}=3 \cdot (-4-\frac{\sqrt{64-4k}}{2}) \Rightarrow \frac{-8+\sqrt{64-4k}}{2}=\frac{-24-3\sqrt{64-4k}}{2}</var>$

 

$<var>\Rightarrow 4\sqrt{64-4k}}+16=0 \Rightarrow \sqrt{64-4k}}+4=0 \Rightarrow \sqrt{4(16-k)}}+4=0 </var>$

 

$<var>\Rightarrow \sqrt{4(16-k)}}=-4 \Rightarrow 4(16-k)=(-4)^2=16 \Rightarrow 16-k=4 </var>$

 

$<var> \Rightarrow k=12</var>$