Question

Determine equação reduzida da circunferência de C e raios a seguir:
a) C(1,3) e R=2
b) C(-4,7) e R=5

Answer 1

Resposta:

As equações das circunferências são: a) x² + y² = 4; b) x² + 2x + y² - 6y - 1 = 0; c) x² - 2x + y² - 10y + 10 = 0; O valor de c é 19.

Questão 1) A equação reduzida de uma circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro da circunferência e r a medida do raio.

a) Se o centro é o ponto C = (0,0), então temos que x₀ = 0 e y₀ = 0. Como a medida do raio é igual a 2, podemos concluir que a equação da circunferência é:

(x - 0)² + (y - 0)² = 2²

x² + y² = 4.

b) Se o centro é o ponto C = (-1,3), então x₀ = -1 e y₀ = 3. Como a medida do raio é igual a 3, podemos concluir que a equação da circunferência é:

(x - (-1))² + (y - 3)² = 3²

(x + 1)² + (y - 3)² = 9

x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9 = 9

x² + 2x + y² - 6y - 1 = 0.

c) Se o centro é o ponto C = (1,5), então x₀ = 1 e y₀ = 5. Como a medida do raio é igual a 4, podemos concluir que a equação da circunferência é:

(x - 1)² + (y - 5)² = 4²

x² - 2x + 1 + y² - 10y + 25 = 16

x² - 2x + y² - 10y + 10 = 0.

Questão 2) Sabemos que a medida do diâmetro é igual ao dobro da medida do raio.

Vamos calcular a medida do diâmetro da circunferência. Para isso, utilizaremos a fórmula da distância entre dois pontos.

Se os extremos do diâmetro são os pontos A = (1,2) e B = (3,8), então a distância entre eles é igual a:

d² = (3 - 1)² + (8 - 2)²

d² = 2² + 6²

d² = 4 + 36

d² = 40

d = 2√10.

Logo, a medida do raio é igual a r = √10.

O ponto médio do segmento AB é o centro da circunferência. Então:

2C = A + B

2C = (1,2) + (3,8)

2C = (1 + 3, 2 + 8)

2C = (4,10)

C = (2,5).

Portanto, a equação da circunferência é:

(x - 2)² + (y - 5)² = (√10)²

x² - 4x + 4 + y² - 10y + 25 = 10

x² + y² - 4x - 10y + 19 = 0.

Assim, o valor de c é 19.

Explicação passo a passo:

espero ter ajudado.